Verifique que:
o vetor eta=(a, b), para todo a, b in R, é perpendicular à reta a x+b y+c=0, em que c in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor normal
eta=(a,b), com a,binR, é perpendicular à reta
a x + b y + c = 0,
onde cinR.
O conteúdo envolvido é geometria analítica de retas e vetores, utilizando a propriedade de que dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar for zero.

Passo 2

Para ver que eta é perpendicular à reta, basta mostrar que eta tem produto escalar nulo com qualquer vetor diretor dessa reta. Seja P=(x0,y0) um ponto qualquer sobre a reta, ou seja, satisfaz
a x0 + b y0 + c = 0
Considere outro ponto Q=(x0+De<a x,;y0+De<a y) também sobre a reta. Então deve valer
a(x0+De<a x)+b(y0+De<a y)+c=0
Subtraindo a equação a x0 + b y0 + c = 0, obtemos
a,De<a x + b,De<a y = 0
Logo,
v = Q - P = (De<a x,De<a y)
é um vetor diretor da reta e satisfaz
a,De<a x + b,De<a y = 0

Passo 3

Agora calcule o produto escalar entre eta e o vetor diretor v:
eta cdot v = (a,b)cdot(De<a x,De<a y) = a,De<a x + b,De<a y
Como mostramos acima, esse valor é zero. Portanto
eta cdot v = 0,
o que significa que eta é perpendicular ao vetor diretor v da reta.

Resposta

O vetor eta=(a,b) é perpendicular à reta a x + b y + c = 0 porque seu produto escalar com qualquer vetor diretor dessa reta é zero.

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