Verifique que:
o vetor
, para todo
, é perpendicular à reta
, em que
.
o vetor
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o vetor normal
, com
, é perpendicular à reta
onde
.
O conteúdo envolvido é geometria analítica de retas e vetores, utilizando a propriedade de que dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar for zero.
O conteúdo envolvido é geometria analítica de retas e vetores, utilizando a propriedade de que dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar for zero.
Passo 2
Para ver que
é perpendicular à reta, basta mostrar que
tem produto escalar nulo com qualquer vetor diretor dessa reta. Seja
um ponto qualquer sobre a reta, ou seja, satisfaz
Considere outro ponto
também sobre a reta. Então deve valer
Subtraindo a equação
, obtemos
Logo,
é um vetor diretor da reta e satisfaz
Passo 3
Agora calcule o produto escalar entre
e o vetor diretor
:
Como mostramos acima, esse valor é zero. Portanto
o que significa que
é perpendicular ao vetor diretor
da reta.
Resposta
O vetor
é perpendicular à reta
porque seu produto escalar com qualquer vetor diretor dessa reta é zero.