Encontre o ângulo formado entre a reta
x-9 & =-5 t y+1 & =-t z-3 & =t t in R
e o plano
2 x-3 y+4 z+7=0

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre uma reta e um plano. O conteúdo é geometria no espaço: para isso precisamos do vetor diretor da reta e do vetor normal ao plano, depois usar produto escalar e norma para aplicar a fórmula do ângulo entre reta e plano.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor v da reta, que vem dos coeficientes de t nas equações paramétricas:
x-9=-5t, y+1=-t, z-3= t
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v=(-5,,-1,,1)

Passo 3

O vetor normal n do plano
2x - 3y + 4z + 7 = 0
é dado pelos coeficientes de x, y, z:
n = (2, -3, 4)

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
ncdotv =2cdot(-5)+(-3)cdot(-1)+4cdot1 =-10+3+4=-3,
lVert vrVert =raiz(-5)^2+(-1)^2+1^2 =raiz25+1+1 =raiz27=3raiz3,
lVert nrVert =raiz2^2+(-3)^2+4^2 =raiz4+9+16 =raiz29

Passo 5

Seja phi o ângulo entre a reta e o plano. Sabendo que o ângulo theta entre a reta e o normal satisfaz
costheta =|ncdotv|lVert nrVert,lVert vrVert,
e que phi=90^circ-theta, obtemos
sinphi =costheta =|,-3,|raiz29;cdot3raiz3 =33raiz3,raiz29 =1raiz87
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phi =arcsin!l(tfrac1raiz87r)

Resposta

phi =arcsin!l(tfrac1raiz87r) approx6,2^circ

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