A área de um triângulo A B C é igual a raiz22. Sabe-se que A=(-1,2,3), B=(-2,3,4) e o vértice C pertence ao eixo O Z. Determine o(s) ponto(s) C.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com área tfracraiz22, sabendo que
A = (-1,2,3), B = (-2,3,4),
e que C está no eixo OZ, ou seja C=(0,0,z).
Para encontrar z, usamos a fórmula da área em função do produto vetorial:
Área = tfrac12l|,ABtimesACr| Á

Passo 2

Calculamos os vetores
AB = B - A = (-1,1,1), AC = C - A = (1,-2,z-3)
O produto vetorial é
ABtimesAC = l(1cdot(z-3)-1cdot(-2),;1cdot1-(-1)cdot(z-3),;(-1)cdot(-2)-1cdot1r) = (z-1,;z-2,;1)

Passo 3

O módulo desse vetor é
l|ABtimesACr| = raiz(z-1)^2 + (z-2)^2 + 1
A condição da área tfrac12raiz(z-1)^2+(z-2)^2+1 = tfracraiz22 leva a
(z-1)^2 + (z-2)^2 + 1 = 2

Passo 4

Expandindo e simplificando:
(z^2 - 2z + 1) + (z^2 - 4z + 4) + 1 = 2 ;Longrightarrow; 2z^2 - 6z + 6 = 2 ;Longrightarrow; z^2 - 3z + 2 = 0 ;Longrightarrow; (z-1)(z-2) = 0,
logo z=1 ou z=2.

Resposta

Os possíveis pontos C são
C = (0,0,1) ou C = (0,0,2)

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