Dados os pontos A=(2 m,-1,1), B=(m, 2 m, 1) e C=(1,-1,2), determinar m de modo que o triângulo A B C seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(2m,-1,1), B=(m,2m,1), C=(1,-1,2)
e pede para achar m de modo que o ângulo em A seja reto. O conteúdo é ângulo entre vetores em R^3 e área de triângulo retângulo. Para a parte do ângulo reto vamos usar o produto escalar; para a área, como o triângulo é retângulo em A, basta fazer
área=tfrac12|AB|;|AC| á

Passo 2

Calcular os vetores AB=B-A e AC=C-A. Temos
AB=(m-2m,;2m-(-1),;1-1)=(-m,;2m+1,;0),
AC=(1-2m,;-1-(-1),;2-1)=(1-2m,;0,;1)

Passo 3

Impor perpendicularidade em A significa
ABcdotAC=0
Logo
(-m)(1-2m)+(2m+1)cdot0+0cdot1= -m+2m^2=0 Longrightarrow m(2m-1)=0
Assim m=0 ou m=tfrac12.

Passo 4

Para cada valor de m, calcular
|AB|=raiz(-m)^2+(2m+1)^2, |AC|=raiz(1-2m)^2+1^2,
e a área
A=tfrac12,|AB|;|AC|
Se m=0:
|AB|=raiz0^2+1^2=1, |AC|=raiz1^2+1= raiz2,
A=tfrac12cdot1cdotraiz2=raiz22
Se m=tfrac12:
|AB|=raizl(-tfrac12r)^2+l(2cdottfrac12+1r)^2 =raiztfrac14+l(2r)^2 =raiz172,
|AC|=raizl(1-2cdottfrac12r)^2+1 =raiz0^2+1=1,
A=tfrac12cdotraiz172cdot1=raiz174

Resposta

m=0 ou m=tfrac12.
Se m=0, A=tfracraiz22.
Se m=tfrac12, A=tfracraiz174.

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