Calcule as normas dos seguintes vetores (assuma que as coordenadas dadas são relativas a uma base ortonormal). Quais são unitários?
a) u=(-2,1,-2)
b) v=(0, 1raiz2, 1raiz2)
c) w=(1raiz6,-1raiz6,-2raiz6)
d) r=(1raiz3,-1raiz3,-2raiz3)
e) s=(cos theta, sen theta)

Passo 1

O enunciado nos dá vetores cujas coordenadas estão em relação a uma base ortonormal em R^n e pede para calcular suas normas e dizer quais são unitários. Para isso usamos a definição de norma-2 de um vetor x=(x1,dots,xn):
|x| = raizx1^2 + cdots + xn^2

Passo 2

Calcular a norma de u=(-2,1,-2):
|u| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Logo, u não é unitário.

Passo 3

Calcular a norma de v=l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r):
|v| = raiz0^2 + l(tfrac1raiz2r)^2 + l(tfrac1raiz2r)^2 = raiz0 + tfrac12 + tfrac12 = raiz1 = 1
Logo, v é unitário.

Passo 4

Calcular a norma de w=l(tfrac1raiz6,-tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6r):
|w| = raizl(tfrac1raiz6r)^2 + l(-tfrac1raiz6r)^2 + l(-tfrac2raiz6r)^2 = raiztfrac16 + tfrac16 + tfrac46 = raiz1 = 1
Logo, w é unitário.

Passo 5

Calcular a norma de r=l(tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac2raiz3r):
|r| = raizl(tfrac1raiz3r)^2 + l(-tfrac1raiz3r)^2 + l(-tfrac2raiz3r)^2 = raiztfrac13 + tfrac13 + tfrac43 = raiztfrac63 = raiz2
Logo, r não é unitário.

Passo 6

Calcular a norma de s=(costheta,sintheta):
|s| = raizcos^2theta + sin^2theta = raiz1 = 1
Logo, s é unitário para qualquer theta.

Resposta

a) |u|=3, não unitário
b) |v|=1, unitário
c) |w|=1, unitário
d) |r|=raiz2, não unitário
e) |s|=1, unitário

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