Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um triângulo no espaço tridimensional, dado pelos vértices , e . Para isso, vamos usar vetores e o produto vetorial, que são ferramentas da geometria analítica e álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos. Vamos encontrar os vetores e :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores iniciais, e sua magnitude é igual à área do paralelogramo formado por e . Como queremos a área do triângulo, vamos dividir o resultado por 2.
O produto vetorial é calculado assim:
Calculando o determinante:
AB times AC = i(1 cdot (-2) - 3 cdot 5) - j(2 cdot (-2) - 3 cdot 4) + k(2 cdot 5 - 1 cdot 4)
= i(-2 - 15) - j(-4 - 12) + k(10 - 4)
= i(-17) - j(-16) + k(6)
= (-17, 16, 6)
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo:
| AB times AC | = raiz(-17)^2 + 16^2 + 6^2 = raiz289 + 256 + 36 = raiz581
Como queremos a área do triângulo, dividimos esse valor por 2:
Área = raiz5812 approx 24.1242 approx 12.062 Á
Resposta
A área do triângulo é aproximadamente 12.06 unidades de área.