A área do triângulo com vértices em
A=(0,0,0), B=(2,1,3) e C=(4,5,-2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um triângulo no espaço tridimensional, dado pelos vértices A = (0,0,0) , B = (2,1,3) e C = (4,5,-2) . Para isso, vamos usar vetores e o produto vetorial, que são ferramentas da geometria analítica e álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos. Vamos encontrar os vetores AB e AC :
AB = B - A = (2-0, 1-0, 3-0) = (2, 1, 3)
AC = C - A = (4-0, 5-0, -2-0) = (4, 5, -2)

Passo 3

Agora que temos os vetores AB e AC , vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores iniciais, e sua magnitude é igual à área do paralelogramo formado por AB e AC . Como queremos a área do triângulo, vamos dividir o resultado por 2.
O produto vetorial AB times AC é calculado assim:
AB times AC = i & j & k 2 & 1 & 3 4 & 5 & -2
Calculando o determinante:
AB times AC = i(1 cdot (-2) - 3 cdot 5) - j(2 cdot (-2) - 3 cdot 4) + k(2 cdot 5 - 1 cdot 4)
= i(-2 - 15) - j(-4 - 12) + k(10 - 4)
= i(-17) - j(-16) + k(6)
= (-17, 16, 6)

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo:
| AB times AC | = raiz(-17)^2 + 16^2 + 6^2 = raiz289 + 256 + 36 = raiz581
Como queremos a área do triângulo, dividimos esse valor por 2:
Área = raiz5812 approx 24.1242 approx 12.062 Á

Resposta

A área do triângulo é aproximadamente 12.06 unidades de área.

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