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[Dica:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Vamos resolver essa equação usando Transformadas de Laplace. Para isso, vamos precisar aplicar propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para termos que envolvem multiplicação por $ t $. A dica que foi dada também será muito útil para achar a transformada inversa no final.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Substituindo os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $:
Reorganizando a equação:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem em termos de $ Y(s) $. Para resolver isso, vamos considerar uma solução particular constante, já que o lado direito é uma constante.
Assumimos uma solução particular $ Y_p(s) = C $.
Substituindo na equação:
Passo 4
A solução geral da equação homogênea associada $ Y’’(s) + Y’(s) + 2s Y(s) = 0 $ é mais complexa e envolve funções especiais que podem não ser necessárias para este exercício específico, já que estamos focando na solução particular.
Portanto, a solução completa é:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
Sabemos que:
Resposta
A solução da equação diferencial é: