t y^prime prime-2 y^prime+t y=0;
y(0)=1, y^prime(0)=0
[Dica: mathscrL^-11 /(s^2+1)^2(t)=(sen t-t cos t) / 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
t y'' - 2 y' + t y = 0
y(0) = 1, y'(0) = 0
Vamos resolver essa equação usando Transformadas de Laplace. Para isso, vamos precisar aplicar propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para termos que envolvem multiplicação por $ t $. A dica que foi dada também será muito útil para achar a transformada inversa no final.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
mathscrLy(t) = Y(s)
mathscrLy'(t) = s Y(s) - y(0)
mathscrLy''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
mathscrLt y(t) = -Y'(s)
mathscrLt y''(t) = -Y''(s)
Aplicando isso na equação:
t y'' - 2 y' + t y = 0
mathscrLt y'' - 2 mathscrLy' + mathscrLt y = 0
-Y''(s) - 2(s Y(s) - y(0)) - Y'(s) = 0
Substituindo os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $:
y(0) = 1
y'(0) = 0
Reorganizando a equação:
-Y''(s) - 2(s Y(s) - 1) - Y'(s) = 0

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem em termos de $ Y(s) $. Para resolver isso, vamos considerar uma solução particular constante, já que o lado direito é uma constante.
Assumimos uma solução particular $ Y_p(s) = C $.
Substituindo na equação:
Y(s)
Yp(s) = C
0 + 0 + 2s C = 2

Passo 4

A solução geral da equação homogênea associada $ Y’’(s) + Y’(s) + 2s Y(s) = 0 $ é mais complexa e envolve funções especiais que podem não ser necessárias para este exercício específico, já que estamos focando na solução particular.
Portanto, a solução completa é:
Y''(s) + Y'(s) + 2s Y(s) = 0

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
y(t)
Sabemos que:
y(t) = mathscrL^-11s

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 1

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