Use que F^(n)(s)=L(-t)^n f(t) para encontrar a transformada de Laplace.
f(t)=t^n e^a t;

Passo 1

Vamos achar a transformada de Laplace de f(t)=t^ne^a t. O conteúdo da matéria aqui é a propriedade de derivação da transformada de Laplace, que diz que, se
F(s)=Lg(t),
então
F^(n)(s)=d^nd s^nF(s) =L(-t)^ng(t)
A partir daí conseguiremos obter Lt^ne^a t.

Passo 2

Identificamos g(t)=e^a t. Sabemos que
Le^a t =1s-a,
válido para Re(s)>a. Ou seja, G(s)=1/(s-a).

Passo 3

Pela propriedade,
G^(n)(s) =L(-t)^ne^a t
Mas queremos Lt^ne^a t. Note que
(-1)^n,Lt^ne^a t =L(-t)^ne^a t =G^(n)(s),
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Lt^ne^a t =(-1)^nG^(n)(s)

Passo 4

Vamos calcular G^(n)(s). Como
G(s)=(s-a)^-1,
suas derivadas sucessivas são
G^(n)(s) =d^nd s^n(s-a)^-1 =(-1)^n,n!,(s-a)^-n-1

Passo 5

Substituindo em Lt^ne^a t=(-1)^nG^(n)(s), obtemos
Lt^ne^a t =(-1)^nl[(-1)^nn!(s-a)^-n-1r] =n!,1(s-a)^,n+1

Resposta

boxedLt^ne^a t =n!(s-a)^,n+1, Re(s)>a

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