1. As áreas totais de um cubo e de uma pirâmide quadrangular regular são iguais. Cada aresta do cubo mede \sqrt{26} \mathrm{~m} e cada aresta da base da pirâmide mede 6 m . Calcule a altura da pirâmide.

Passo 1

O enunciado diz que as áreas totais de um cubo e de uma pirâmide quadrangular regular são iguais. Cada aresta do cubo mede \sqrt{26} m e cada aresta da base da pirâmide mede 6 m. Precisamos usar a fórmula da área total do cubo, a expressão da área total da pirâmide (base mais faces laterais) e relacionar a altura lateral ( l) à altura da pirâmide ( h) via Pitágoras.

Passo 2

A área total do cubo é dada por
A_{\text{cubo}} = 6\,a^2.
Como a = \sqrt{26}, temos
A_{\text{cubo}} = 6 \,(\sqrt{26})^2 = 6 \times 26 = 156\text{ m}^2.

Passo 3

A área total da pirâmide é a soma da área da base (um quadrado de lado 6) com a área lateral (quatro triângulos isósceles de base 6 e altura lateral l):
A_{\text{pyr}} = 6^2 + 4\cdot\frac{6\,l}{2} = 36 + 12\,l.

Passo 4

Igualando as áreas:
36 + 12\,l = 156
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12\,l = 120 \quad\Longrightarrow\quad l = 10\text{ m}.

Passo 5

No corte pelo centro, a aresta da base mede 6 m e o deslocamento do centro até o meio de uma aresta é
d = \frac{6}{2} = 3\text{ m}.
Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo que liga o centro da base, o ponto médio da aresta e o vértice,
l^2 = h^2 + d^2 \quad\Longrightarrow\quad h^2 = l^2 - d^2 = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91 \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{91}\text{ m}.

Resposta

\sqrt{91} m

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