Para a areia seca com as propriedades apresentadas abaixo, calcule:
Porosidade
Massa Específica
Natural \left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right)
41,2 \% 1750,0
a) Índice de vazios;
b) Peso específico relativo dos grãos sólidos.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Porosidade: n = 41{,}2\%.
  • Massa específica natural (areia seca): \rho_d = 1750{,}0\\ \mathrm{kg/m^3}.
O que o problema pede:
  • (a) calcular o índice de vazios e;
  • (b) calcular o peso específico relativo dos grãos sólidos G_s.

Passo 2

Vamos lembrar as definições e as fórmulas que vamos usar, explicando cada símbolo:
  • Porosidade n é a razão entre o volume de vazios V_v e o volume total V:
n=\frac{V_v}{V}.
  • Índice de vazios e é a razão entre o volume de vazios V_v e o volume de sólidos V_s:
e=\frac{V_v}{V_s}.
Como V=V_s+V_v, podemos relacionar n e e. Vou deduzir a fórmula passo a passo:
n=\frac{V_v}{V_s+V_v}.
Dividindo numerador e denominador por V_s obtemos
n=\frac{V_v/V_s}{1+V_v/V_s}=\frac{e}{1+e}.
Isolando e temos a fórmula prática:
e=\frac{n}{1-n}.
Essa é a fórmula que usaremos no item (a). Aqui:
  • n é adimensional (fração entre 0 e 1);
  • e também é adimensional.

Passo 3

Calcular o índice de vazios e usando n=41{,}2\% = 0{,}412.
e=\frac{n}{1-n}=\frac{0{,}412}{1-0{,}412}=\frac{0{,}412}{0{,}588}.
Agora a divisão:
e \approx 0{,}412\div 0{,}588 \approx 0{,}700680\dots
Arredondando de forma prática para três casas decimais:
e \approx 0{,}701.

Passo 4

Para o item (b) precisamos do peso específico relativo dos grãos G_s. Vou explicar as relações usadas:
  • A massa específica dos grãos (densidade das partículas sólidas) é \rho_s (unidade \mathrm{kg/m^3}).
  • Para solo seco, a massa específica seca \rho_d está relacionada com \rho_s por
\rho_d=\rho_s(1-n).
Isso vem do fato de que a massa por unidade de volume total é a massa de sólidos (que tem densidade \rho_s e ocupa fração volumétrica 1-n) dividida pelo volume total.
Isolando \rho_s:
\rho_s=\frac{\rho_d}{1-n}.
O peso específico relativo G_s (também chamado de gravidade específica dos grãos) é a razão entre a densidade das partículas e a densidade da água \rho_w:
G_s=\frac{\rho_s}{\rho_w}.
Adotamos para água \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão aproximado).

Passo 5

Calcular \rho_s com \rho_d=1750{,}0\\ \mathrm{kg/m^3} e n=0{,}412:
\rho_s=\frac{\rho_d}{1-n}=\frac{1750{,}0}{1-0{,}412}=\frac{1750{,}0}{0{,}588}.
Fazendo a divisão:
\rho_s \approx 2976{,}19\\ \mathrm{kg/m^3}.
Agora calcular G_s:
G_s=\frac{\rho_s}{\rho_w}=\frac{2976{,}19}{1000}\approx 2{,}97619\dots
Arredondando para duas casas decimais (formato usual para G_s):
G_s \approx 2{,}98.

Passo 6

Breve checagem e interpretação (motivacional): os resultados estão coerentes em termos de ordem de grandeza. O índice de vazios e\approx0{,}70 é razoável para uma areia solta a intermediária. O valor de G_s\approx2{,}98 é um pouco acima do valor típico de quartzo puro ( \approx2{,}65), o que pode indicar presença de minerais mais densos; de qualquer forma, para a prova o procedimento e os cálculos acima são o que importa — você acertou a técnica.

Resposta

e \approx 0{,}701
G_s \approx 2{,}98

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