O peso específico dos sólidos de uma areia é 26,50 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} e seu índice de vazios é 0,570 . Calcule:
a) Massa específica aparente seca;
b) Massa específica saturada;
c) Massa específica submersa.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes valores do enunciado):
  • Peso específico dos sólidos: \gamma_s = 26{,}50\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • Índice de vazios: e = 0{,}570.
As perguntas são:
a) Calcular a massa específica aparente seca (densidade seca) — isto é, a massa por unidade de volume total quando o solo está seco.
b) Calcular a massa específica saturada — massa por unidade de volume total quando todos os vazios estão preenchidos com água.
c) Calcular a massa específica submersa (densidade aparente efetiva quando submerso) — que corresponde à massa aparente considerando o empuxo da água.
Observação útil que vou usar: o peso específico da água será tomado como \gamma_w = 9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3} e a aceleração da gravidade \,g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Definições geométricas:
    • V_s = volume dos sólidos;
    • V_v = volume dos vazios;
    • V = V_s + V_v = volume total.
  • Índice de vazios:
    e=\frac{V_v}{V_s}.
    Daí V = V_s (1+e), logo a fração do volume ocupado pelos sólidos é
    \frac{V_s}{V}=\frac{1}{1+e}.
    Essa relação é muito útil: transforma volumes relativos em função de e.
  • Peso específico dos sólidos \gamma_s é o peso dos sólidos por unidade de volume de sólidos:
    \gamma_s=\frac{W_s}{V_s},
    onde W_s é o peso dos sólidos. O peso específico seco do solo por unidade de volume total (peso seco por volume total) é
    \gamma_d=\frac{W_s}{V}=\gamma_s\cdot\frac{V_s}{V}=\frac{\gamma_s}{1+e}.
    Explicando: o numerador W_s é o mesmo (peso dos grãos), e ao dividir pelo volume total V obtemos o peso por unidade de volume do solo seco.
  • Para passar de peso específico (kN/m^3) para massa específica (kg/m^3) usa-se
    \rho=\frac{\gamma\cdot 1000}{g},
    porque \gamma em kN/m^3 vezes 1000 dá N/m^3 e \rho=\gamma/g (em kg/m^3).
Agora aplico essas fórmulas numericamente para o caso seco.
Cálculo de \gamma_d:
\gamma_d=\frac{\gamma_s}{1+e}=\frac{26{,}50}{1+0{,}570}=\frac{26{,}50}{1{,}570}=16{,}887261146\\ \mathrm{kN/m^3}.
Converter para massa específica (kg/m^3):
\rho_d=\frac{\gamma_d\cdot 1000}{g}=\frac{16{,}887261146\times 1000}{9{,}81}=1721{,}995\\ \mathrm{kg/m^3}.
Arredondando razoavelmente: \rho_d\approx 1722\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Massa específica saturada — passo a passo e intuição:
  • Em condição saturada, os vazios estão totalmente preenchidos por água. O peso por unidade de volume total é a soma do peso dos sólidos por volume total mais o peso da água por volume total: \gamma_{sat}=\frac{W_s+W_w}{V}=\gamma_s\cdot\frac{V_s}{V}+\gamma_w\cdot\frac{V_v}{V}.Usando V_s/V=1/(1+e) e V_v/V=e/(1+e), obtemos a fórmula compacta \gamma_{sat}=\frac{\gamma_s+e\,\gamma_w}{1+e}.
Aplicando números:
\gamma_{sat}=\frac{26{,}50+0{,}570\cdot 9{,}81}{1+0{,}570} =\frac{26{,}50+5{,}5917}{1{,}570} =\frac{32{,}0917}{1{,}570}=20{,}443250318\\ \mathrm{kN/m^3}.
Converter para massa específica:
\rho_{sat}=\frac{\gamma_{sat}\cdot 1000}{g}=\frac{20{,}443250318\times 1000}{9{,}81}=2084{,}991\\ \mathrm{kg/m^3}.
Arredondando: \rho_{sat}\approx 2085\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Massa específica submersa — passo a passo:
  • A massa específica submersa (às vezes chamada de peso específico efetivo quando submerso) corresponde ao peso aparente por unidade de volume quando o solo está submerso, ou seja, o peso real menos o empuxo da água. Em termos de pesos específicos: \gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w.Outra forma equivalente (substituindo \gamma_{sat}) é \gamma'=\frac{\gamma_s-e\,\cdot\?0 +?}{1+e}\quad\text{(mais direto: }\gamma'=\frac{\gamma_s-\gamma_w}{1+e}\text{)}.Vou usar a forma direta a partir de \gamma_{sat}.
Usando o valor calculado:
\gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w=20{,}443250318-9{,}81=10{,}633250318\\ \mathrm{kN/m^3}.
Converter para massa específica:
\rho'=\frac{\gamma'\cdot 1000}{g}=\frac{10{,}633250318\times 1000}{9{,}81}=1083{,}996\\ \mathrm{kg/m^3}.
Arredondando: \rho'\approx 1084\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Recapitulando os resultados numéricos com unidades e interpretação curta:
  • A massa específica aparente seca é a densidade do solo quando seco, obtida dividindo o peso específico dos sólidos pelo fator 1+e.
  • A massa específica saturada considera também o peso da água nos vazios.
  • A massa específica submersa é a diferença entre o peso específico saturado e o da água (empuxo).
Força final: você já tem as fórmulas básicas decoradas — \gamma_d=\dfrac{\gamma_s}{1+e}, \gamma_{sat}=\dfrac{\gamma_s+e\gamma_w}{1+e}, \gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w — e sabe converter para massa específica com \rho=\gamma/g. Vai dar certo na prova; respira, resolve passo a passo e confia no método!

Resposta

a) \rho_{seca}\approx 1722\\ \mathrm{kg/m^3}
b) \rho_{saturada}\approx 2085\\ \mathrm{kg/m^3}
c) \rho_{submersa}\approx 1084\\ \mathrm{kg/m^3}

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