Considerando os dados abaixo, calcule:
Teor de Umidade
Peso Específico
Relativo dos Grãos
Peso Específico
Natural \left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}\right)
15 \% 2,70 16,5
a) Peso específico aparente seco;
b) Porosidade;
c) Grau de saturação do solo.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado pede e os dados que ele dá (sem resolver ainda).
  • O enunciado pede:
    a) o peso específico aparente seco;
    b) a porosidade;
    c) o grau de saturação do solo.
  • Dados fornecidos na tabela:
    • teor de umidade w = 15\% (ou seja w = 0{,}15);
    • peso específico relativo dos grãos G_s = 2{,}70;
    • peso específico natural (peso específico a úmido) \gamma_{\text{nat}} = 16{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
  • Valor que vamos usar como padrão (unidade da água): peso específico da água \gamma_w = 9{,}81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.

Passo 2

Calcular o peso específico aparente seco \gamma_d. Vou primeiro explicar a ideia e a fórmula:
  • O teor de umidade w é a razão entre massa de água e massa de sólidos:
    w=\frac{m_w}{m_s}.
    Assim, a massa total (sólidos + água) vale m_s + m_w = m_s(1+w).
  • O peso específico natural \gamma_{\text{nat}} é o peso total por unidade de volume (equivalente ao “a úmido”):
    \gamma_{\text{nat}}=\gamma=\frac{(m_s+m_w)g}{V}=\gamma_d(1+w),
    em que \gamma_d é o peso específico seco (peso dos sólidos por volume total). A relação útil é, portanto:
    \gamma_d=\frac{\gamma_{\text{nat}}}{1+w}.
Agora aplicando os números (tudo em TeX):
\gamma_d=\frac{16{,}5}{1+0{,}15}=\frac{16{,}5}{1{,}15}=14{,}34782609\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
Arredondando de forma prática para a prova: \gamma_d \approx 14{,}35\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.

Passo 3

Determinar o void ratio e (e daí a porosidade). Primeiro a fórmula e a intuição:
  • Definições:
    • volume total V = V_s + V_v, em que V_s é volume de sólidos e V_v é volume de vazios;
    • void ratio e = \dfrac{V_v}{V_s};
    • porosidade n = \dfrac{V_v}{V} = \dfrac{e}{1+e}.
  • Relação entre \gamma_d, G_s, \gamma_w e e:
    partir das definições pode-se mostrar (vou resumir a dedução):
    \gamma_d = \frac{G_s\,\gamma_w}{1+e}.
    Essa fórmula vem de escrever \gamma_d = \dfrac{m_s g}{V} = \dfrac{\rho_s V_s g}{V}, substituir \rho_s = G_s\rho_w e reorganizar em função de e.
  • Isolar e:
    1+e=\frac{G_s\,\gamma_w}{\gamma_d}\quad\Rightarrow\quad e=\frac{G_s\,\gamma_w}{\gamma_d}-1.
Agora calcular usando os valores:
e=\frac{2{,}70\cdot 9{,}81}{14{,}34782609}-1=\frac{26{,}487}{14{,}34782609}-1=1{,}846153846-1=0{,}846153846.
Arredondando: e \approx 0{,}8462.

Passo 4

Converter o void ratio e em porosidade n:
  • Fórmula:
    n=\frac{e}{1+e}.
  • Cálculo:
    n=\frac{0{,}846153846}{1{,}846153846}=0{,}458333333\approx 0{,}4583.
Em porcentagem: n \approx 45{,}83\%.

Passo 5

Calcular o grau de saturação S_r. Explicação da fórmula:
  • Grau de saturação S_r é a fração do volume de vazios ocupada por água:
    S_r=\frac{V_w}{V_v}.
  • Relacionando w, e, G_s e S_r: escrevendo w=\dfrac{m_w}{m_s}=\dfrac{\rho_w V_w}{\rho_s V_s} e substituindo \rho_s=G_s\rho_w e V_w=S_r V_v=S_r e V_s, obtém-se a relação clássica:
    w=\frac{S_r\,e}{G_s}\quad\Rightarrow\quad S_r=\frac{w\,G_s}{e}.
  • Cálculo numérico:
    S_r=\frac{0{,}15\cdot 2{,}70}{0{,}846153846}=\frac{0{,}405}{0{,}846153846}=0{,}4782608696\approx 0{,}4783.
Em porcentagem: S_r \approx 47{,}83\%.

Resposta

a) \gamma_d = 14{,}35\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3
b) n = 0{,}4583 (ou 45{,}83\%)
c) S_r = 0{,}4783 (ou 47{,}83\%)

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