São conhecidos, para um determinado solo, as seguintes informações:
Teor de Umidade
Massa Específica
Natural \left(\mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}\right)
Massa Específica dos
Grâos Sólidos \left(\mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}\right)
12,0 \% 1,8 2,7
Calcule:

Passo 1

O que o enunciado nos deu (peguei estes números da tabela enviada):
  • Teor de umidade: 12{,}0\%.
  • Massa específica natural (massa por volume do solo úmido): \rho = 1{,}8\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Massa específica dos grãos sólidos: \rho_{s} = 2{,}7\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
O que vou calcular (coisas típicas pedidas nesse tipo de exercício):
  • Massa específica seca \rho_{d} (ou densidade seca);
  • Porosidade n;
  • Índice de vazios e;
  • Grau de saturação S_{r}.

Passo 2

Converter o teor de umidade para forma adimensional e lembrar a definição de teor de umidade (útil para as fórmulas):
  • O teor de umidade w é a razão entre massa de água e massa de sólidos:
w=\frac{M_{w}}{M_{s}}.
  • Como foi dado 12{,}0\%, em adimensional:
w=0{,}12.

Passo 3

Calcular a massa específica seca \rho_{d}. Explicação didática:
  • A massa específica natural \rho é a massa total (sólidos + água) dividida pelo volume total:
\rho=\frac{M_{s}+M_{w}}{V}.
  • A massa específica seca é a massa dos sólidos por volume total:
\rho_{d}=\frac{M_{s}}{V}.
  • Relacionando as duas e usando w=\dfrac{M_{w}}{M_{s}} obtém-se a fórmula útil:
\rho_{d}=\frac{\rho}{1+w}.
Agora substitui e calcula:
\rho_{d}=\frac{1{,}8}{1+0{,}12}=\frac{1{,}8}{1{,}12}=1{,}607142857\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Arredondando razoavelmente para três casas decimais:
\rho_{d}\approx1{,}607\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 4

Calcular a porosidade n. Primeiro a definição e derivação curta:
  • Porosidade é a fração do volume total ocupada por vazios:
n=\frac{V_{v}}{V}=1-\frac{V_{s}}{V}.
  • Usando \rho_{d}=\dfrac{M_{s}}{V} e \rho_{s}=\dfrac{M_{s}}{V_{s}} encontra-se
\frac{V_{s}}{V}=\frac{\rho_{d}}{\rho_{s}} \quad\Rightarrow\quad n=1-\frac{\rho_{d}}{\rho_{s}}.
Substituindo os valores:
n=1-\frac{1{,}607142857}{2{,}7}=1-\frac{45/28}{27/10}=1-\frac{25}{42}=\frac{17}{42}=0{,}404761905\ldots
Em porcentagem:
n\approx0{,}40476\quad\text{ou}\quad n\approx40{,}476\%.

Passo 5

Calcular o índice de vazios e. Definição e relação com n:
  • Índice de vazios é a razão entre volume de vazios e volume de sólidos:
e=\frac{V_{v}}{V_{s}}=\frac{n}{1-n}.
  • Alternativamente, em densidades:
e=\frac{\rho_{s}-\rho_{d}}{\rho_{d}}.
Usando n=\dfrac{17}{42} fica simples:
e=\frac{n}{1-n}=\frac{17/42}{25/42}=\frac{17}{25}=0{,}68.
Portanto
e=0{,}68.

Passo 6

Calcular o grau de saturação S_{r}. Definição e fórmula prática:
  • Grau de saturação é a fração do volume de vazios preenchida por água:
S_{r}=\frac{V_{w}}{V_{v}}.
  • Em termos de w,\\ \rho_{d},\\ n e densidade da água \rho_{w} (onde \rho_{w}=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}} à temperatura ambiente), usa-se
S_{r}=\frac{w\,\rho_{d}}{\rho_{w}\,n}.
Como \rho_{w}=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}, simplifica para
S_{r}=\frac{w\,\rho_{d}}{n}.
Substituindo os valores:
S_{r}=\frac{0{,}12\times1{,}607142857}{0{,}404761905}=\frac{27/140}{17/42}=\frac{567}{1190}=0{,}476470588\ldots
Em porcentagem:
S_{r}\approx0{,}47647\quad\text{ou}\quad S_{r}\approx47{,}647\%.

Passo 7

Resumo rápido (cheque e interpretação leve):
  • A massa específica seca é menor que a massa específica dos grãos, como esperado.
  • A porosidade cerca de 40{,}5\% e índice de vazios 0{,}68 são números coerentes para um solo razoavelmente poroso.
  • O grau de saturação abaixo de 50\% indica que o solo não está saturado (há ar nos vazios).

Resposta

\rho_{d}=1{,}607\\ \mathrm{g/cm^{3}}
n=0{,}40476 (ou 40{,}476\%)
e=0{,}68
S_{r}=0{,}47647 (ou 47{,}647\%)

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