A aresta da base de um prisma hexagonal regular é
e a aresta lateral é
. Sabendo que esse prisma é equivalente a um outro triangular regular, cuja aresta da base é
e cuja lateral é
, calcule a relação entre
e
.
Passo 1
O enunciado fala de dois prismas retos:
– Um prisma de base hexagonal regular com aresta da base e aresta lateral
.
– Um prisma de base triangular equilátera com aresta da base e aresta lateral
.
Eles têm o mesmo volume. Para encontrar a relação entre e
, vamos usar as fórmulas de área das bases e o fato de que
– Um prisma de base hexagonal regular com aresta da base
– Um prisma de base triangular equilátera com aresta da base
Eles têm o mesmo volume. Para encontrar a relação entre
Passo 2
A área de um hexágono regular de lado
pode ser obtida dividindo-o em 6 triângulos equiláteros de lado
. Cada triângulo tem área
logo a área do hexágono vale
Assim, o volume do prisma hexagonal é
Passo 3
A área de um triângulo equilátero de lado
é
O volume do prisma triangular então é
Passo 4
Igualando os volumes
, temos
Podemos simplificar
dos dois lados e rearranjar:
Resposta
A relação entre
e
é