A aresta da base de um prisma hexagonal regular é r e a aresta lateral é s. Sabendo que esse prisma é equivalente a um outro triangular regular, cuja aresta da base é s e cuja lateral é r, calcule a relação entre r e s.

Passo 1

O enunciado fala de dois prismas retos:
– Um prisma de base hexagonal regular com aresta da base r e aresta lateral s.
– Um prisma de base triangular equilátera com aresta da base s e aresta lateral r.
Eles têm o mesmo volume. Para encontrar a relação entre r e s, vamos usar as fórmulas de área das bases e o fato de que
Volume = (área da base) times (a<ura ou aresta lateral) á

Passo 2

A área de um hexágono regular de lado r pode ser obtida dividindo-o em 6 triângulos equiláteros de lado r. Cada triângulo tem área
raiz34,r^2,
logo a área do hexágono vale
Ahex = 6 times raiz34,r^2 = 3raiz32,r^2
Assim, o volume do prisma hexagonal é
Vhex = Ahextimes s = 3raiz32,r^2,s

Passo 3

A área de um triângulo equilátero de lado s é
Atri = raiz34,s^2
O volume do prisma triangular então é
Vtri = Atritimes r = raiz34,s^2,r

Passo 4

Igualando os volumes Vhex = Vtri, temos
3raiz32,r^2,s = raiz34,s^2,r
Podemos simplificar raiz3 dos dois lados e rearranjar:
32,r^2,s = 14,s^2,r Longrightarrow 6,r^2,s = s^2,r Longrightarrow 6,r,s = s^2 Longrightarrow s = 6,r

Resposta

A relação entre r e s é
boxeds = 6,r

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