O segmento que liga um dos vértices de um cubo ao centro de uma das faces opostas mede 60 cm . Calcule o volume deste cubo.

Passo 1

O enunciado diz que num cubo de aresta desconhecida a, o segmento que liga um v’ertice ao centro de uma das faces opostas mede 60,cm. O conte’udo que usamos 'e geometria anal’itica no espa\c co, em particular a f’ormula da dist^ancia entre dois pontos em R^3, e depois a f’ormula do volume do cubo V=a^3.

Passo 2

Para modelar isso, colocamos o vértice em (0,0,0) e as arestas paralelas aos eixos coordenados. As três faces que contêm esse vértice são x=0, y=0 e z=0. Escolhemos uma delas, digamos x=0, e tomamos a face oposta x=a. O centro dessa face tem coordenadas
l(a,tfraca2,tfraca2r)

Passo 3

A distância entre (0,0,0) e l(a,tfraca2,tfraca2r) é
d = raiz(a-0)^2 + l(tfraca2-0r)^2 + l(tfraca2-0r)^2 = raiza^2 + 2cdota^24 = raiz32,a^2 = a,raiz32
Como d=60, temos
a,raiz32 = 60 Longrightarrow a = 60raiz3/2 = 60cdotraiz23 = 20raiz6

Passo 4

O volume do cubo é
V = a^3 = l(20raiz6r)^3 = 20^3cdot(raiz6)^3 = 8000cdot6raiz6 = 48000raiz6 cm^3

Resposta

48000raiz6 cm^3

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