Calcule o volume de um prisma regular cuja área lateral mede 240 m^2, sendo a base um dodecágono regular de 2 m de lado.

Passo 1

O enunciado fala de um prisma reto cujas bases são dodecágonos regulares de lado 2,m e cuja área lateral é 240,m^2. Queremos o volume desse prisma. Para isso vamos precisar de:
  1. Perímetro da base;
  2. Altura do prisma (vinda da área lateral);
  3. Apótema do dodecágono (para achar a área da base);
  4. Volume V = área da basetimes a<uraá

Passo 2

O perímetro P de um dodecágono regular de n=12 lados, cada um de comprimento a=2,m, é
P = ncdot a = 12 times 2 = 24 m

Passo 3

Num prisma reto, a área lateral AL vale
AL = P times h,
onde h é a altura. Portanto,
h = ALP = 24024 = 10 m

Passo 4

A área da base de um polígono regular também pode ser escrita como
Abase = P,ap2,
onde ap é o apótema. Para um polígono regular de lado a e n lados,
ap = a2tanl(pinr)
Aqui a=2 e n=12, então
ap = 22tanl(pi12r) = 1tanl(tfracpi12r) = 2 + raiz3(pois tantfracpi12=2-raiz3)

Passo 5

Substituindo em Abase = tfracP,ap2, temos
Abase = 24,(2+raiz3)2 = 12,(2+raiz3) = 24 + 12raiz3 m^2

Passo 6

Finalmente, o volume do prisma é
V = Abasetimes h = (24 + 12raiz3)times 10 = 240 + 120raiz3 m^3

Resposta

V = 240 + 120raiz3 m^3.

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