A base de uma pirâmide é um losango de lado 15 dm . A face lateral forma com a base um ângulo de 45^circ. A maior diagonal da base mede 24 dm . Determine o volume da pirâmide.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma pirâmide cuja base é um losango de lado ,15 dm, cuja maior diagonal mede ,24 dm, e as faces laterais formam ângulo de ,45^circ com o plano da base. Queremos o volume da pirâmide.
Conteúdo: área de losango, distância do centro a um lado (inradius) e relação entre o ângulo diedro face-base e a altura da pirâmide.

Passo 2

Para achar a outra diagonal do losango usamos que, nos losangos, as diagonais são perpendiculares e cada metade satisfaz
l(tfracd12r)^2 + l(tfracd22r)^2 = a^2,
onde d1=24, a=15. Logo
12^2 + d2^24 = 15^2 Longrightarrow 144 + d2^24 = 225 Longrightarrow d2^24 = 81 Longrightarrow d2 = 18

Passo 3

A área da base (losango) é
Abase = d1,d22 = 24 times 182 = 216;dm^2

Passo 4

A distância do centro do losango a um de seus lados (inradius) vale
r = Abase2a = 2162cdot 15 = 7,2;dm

Passo 5

Seja varphi=45^circ o ângulo diedro entre uma face lateral e a base. Num plano perpendicular a um lado e passando por centro e vértice, obtém-se
tanvarphi = hr Longrightarrow h = r ,tan 45^circ = 7,2 times 1 = 7,2;dm

Passo 6

Finalmente, o volume da pirâmide é
V = 13,Abase,h = 13times 216times 7,2 = 216 times 2,4 = 518,4;dm^3

Resposta

O volume da pirâmide é 518,4 d m^3.

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