A aresta lateral de uma pirâmide quadrangular regular mede 15 cm e a aresta da base 10 cm . Calcule o volume.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 10,cm e cada aresta lateral mede 15,cm. O conteúdo é cálculo de volume de pirâmide, que exige a área da base e a altura perpendicular a essa base.

Passo 2

A base é um quadrado de lado a=10,cm, logo sua área é
A_{\text{base}} = a^2 = 10^2 = 100\text{ cm}^2.

Passo 3

Em toda pirâmide quadrangular regular, o pé da altura fica no centro do quadrado da base. A distância do centro a um vértice da base é
r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\text{ cm}.
A aresta lateral \ell=15,cm forma com essa distância e a altura h um triângulo retângulo, portanto
h = \sqrt{\ell^2 - r^2} = \sqrt{15^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 - 50} = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}\text{ cm}.

Passo 4

O volume de qualquer pirâmide é dado por
V = \frac{1}{3} \,A_{\text{base}}\,h.
Substituindo A_{\text{base}}=100,cm ^2 e h=5\sqrt{7},cm, obtemos
V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 5\sqrt{7} = \frac{500\sqrt{7}}{3}\text{ cm}^3.

Resposta

\displaystyle \frac{500\sqrt{7}}{3}\text{ cm}^3

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