Numa pirâmide triangular PABC , o triedro de vértice P é tri-retângulo. O triângulo ABC da base é equilátero de lado 4 cm . Calcule o volume da pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide triangular PABC cuja base ABC é um triângulo equilátero de lado 4\\ \text{cm}. Além disso, o triedro de vértice P é tri-retângulo, ou seja, os segmentos PA, PB e PC são mutuamente perpendiculares. Vamos usar vetores e produto escalar para determinar as distâncias PA, PB, PC e depois aplicar a fórmula do volume de uma pirâmide.

Passo 2

Colocamos P na origem e representamos as posições de A,B,C pelos vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. A condição de tri-retângulo implica
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0,\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=0,\quad \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0.
Como ABC é equilátero de lado 4, temos
\lvert\mathbf{a}-\mathbf{b}\rvert=4,\quad \lvert\mathbf{a}-\mathbf{c}\rvert=4,\quad \lvert\mathbf{b}-\mathbf{c}\rvert=4.

Passo 3

Usando \lvert\mathbf{u}-\mathbf{v}\rvert^2=\lvert\mathbf{u}\rvert^2+\lvert\mathbf{v}\rvert^2-2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} e a ortogonalidade, obtemos
\lvert\mathbf{a}\rvert^2+\lvert\mathbf{b}\rvert^2=16,\quad \lvert\mathbf{a}\rvert^2+\lvert\mathbf{c}\rvert^2=16,\quad \lvert\mathbf{b}\rvert^2+\lvert\mathbf{c}\rvert^2=16.
Definindo x=\lvert\mathbf{a}\rvert^2, y=\lvert\mathbf{b}\rvert^2, z=\lvert\mathbf{c}\rvert^2, temos o sistema
\begin{cases} x+y=16,\\\ x+z=16,\\\ y+z=16. \end{cases}

Passo 4

Da subtração das duas primeiras equações vem y=z. Substituindo em y+z=16 resulta 2y=16, ou seja
y=z=8,
e daí x=16-y=8.

Passo 5

Logo
\lvert\mathbf{a}\rvert=\sqrt{8}=2\sqrt{2},\quad \lvert\mathbf{b}\rvert=2\sqrt{2},\quad \lvert\mathbf{c}\rvert=2\sqrt{2}.
Portanto PA=PB=PC=2\sqrt{2}\,\text{cm}.

Passo 6

Como \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são ortogonais, o volume da pirâmide é
V=\frac{1}{6}\,\bigl|\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})\bigr| =\frac{1}{6}\,\lvert\mathbf{a}\rvert\,\lvert\mathbf{b}\rvert\,\lvert\mathbf{c}\rvert =\frac{1}{6}\,(2\sqrt{2})^3.

Passo 7

Calculando (2\sqrt{2})^3=8\cdot2\sqrt{2}=16\sqrt{2}, obtemos
V=\frac{16\sqrt{2}}{6}=\frac{8\sqrt{2}}{3}.

Resposta

O volume da pirâmide é \displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{3}\,\text{cm}^3.

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