Uma argola de arame circular com densidade constante encontra-se ao longo da circunferência de equação no plano . Encontre o momento de inércia da argola em realção ao eixo , mais especificamente, calcule a integral de linha . (Resp.: .)
Passo 1
O enunciado descreve uma argola de arame circular de raio no plano , com densidade linear constante . Queremos o momento de inércia dessa argola em relação ao eixo , dado pela integral de linha
Para resolver, vamos usar a definição de momento de inércia para uma distribuição linear de massa () e parametrizar a circunferência.
Passo 2
Pela definição de momento de inércia de um fio, temos
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Passo 3
Parametrizamos a circunferência de raio por
Passo 4
Calculamos o elemento de comprimento
e notamos que
x^2(t)+y^2(t)=a^2cos^2t + a^2sin^2t = a^2
Passo 5
Substituindo em Iz:
Iz = integral0^2pi l[a^2r],de<a,[a,dt] = de<a,a^3 integral0^2pi dt = de<a,a^3 times 2pi = 2pi,de<a,a^3