Uma argola de arame circular com densidade constante de<a encontra-se ao longo da circunferência C de equação x^2+y^2=a^2 no plano x y. Encontre o momento de inércia da argola em realção ao eixo z, mais especificamente, calcule a integral de linha Iz=integralC(x^2+y^2) de<a d s. (Resp.: Iz=2 pi de<a a^3.)

Passo 1

O enunciado descreve uma argola de arame circular de raio a no plano xy, com densidade linear constante de<a. Queremos o momento de inércia dessa argola em relação ao eixo z, dado pela integral de linha
Iz ;=; integralC l(x^2+y^2r),de<a,ds
Para resolver, vamos usar a definição de momento de inércia para uma distribuição linear de massa ( dm=de<a,ds) e parametrizar a circunferência.

Passo 2

Pela definição de momento de inércia de um fio, temos
Iz ;=; integralC r^2,dm com r^2=x^2+y^2 e dm=de<a,ds
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Iz ;=; integralC l(x^2+y^2r),de<a,ds

Passo 3

Parametrizamos a circunferência C de raio a por
x(t)=acos t, y(t)=asin t, tin[0,2pi]

Passo 4

Calculamos o elemento de comprimento
ds = l| r'(t)r|,dt = raiz(-asin t)^2+(acos t)^2;dt = a,dt,
e notamos que
x^2(t)+y^2(t)=a^2cos^2t + a^2sin^2t = a^2

Passo 5

Substituindo em Iz:
Iz = integral0^2pi l[a^2r],de<a,[a,dt] = de<a,a^3 integral0^2pi dt = de<a,a^3 times 2pi = 2pi,de<a,a^3

Resposta

Iz=2pi,de<a,a^3

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