Resolva as EDOs abaixo usando um fator integrante:
(1raizy^2+6+1y^2) d yd x-1x y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
l(1raizy^2+6+1y^2r)dydx-1x,y=0
usando fator integrante. Aqui vamos tratar ela como diferencial exata ou quase exata, identificando
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
e procurando um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial:
-1x,y,dx+l(1raizy^2+6+1y^2r),dy=0,
portanto
M(x,y)=-1x,y, N(x,y)=1raizy^2+6+1y^2

Passo 3

Verificamos a quase exatidão calculando
partial Mpartial y =partialpartial yl(-1x,yr) =1x,y^2, partial Npartial x =0
O critério para fator integrante mu(y) depende de
partial N/partial x-partial M/partial yM =-1/(x,y^2)-1/(x,y) =1y,
que é função só de y. Logo
mu(y)=expl(integral1y,dyr) =exp(ln|y|) =|y|
Para simplificar, assumimos y>0 e usamos mu(y)=y.

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(y)=y, obtemos
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0
com
M^*(x,y)=-1x, N^*(x,y) =yl(1raizy^2+6+1y^2r) =yraizy^2+6+1y
Agora partial M^*/partial y=0=partial N^*/partial x, ou seja, a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M^*(x,y)=-1x,
logo
psi(x,y)=-ln|x|+h(y)
Para determinar h(y), usamos
partial psipartial y =h'(y) stackrel!=N^*(x,y) =yraizy^2+6+1y
Integramos em y:
h(y) =integralyraizy^2+6,dy+integral1y,dy =raizy^2+6+ln|y|+C
Portanto
psi(x,y)=-ln|x|+raizy^2+6+ln|y|

Passo 6

A solução implícita geral é
psi(x,y)=const,
isto é
-ln|x|+raizy^2+6+ln|y|=C
Podemos reescrever
raizy^2+6+lnl|yxr|=C'

Resposta

boxedraizy^2+6+lnl|yxr|=C

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