Resolva as EDOs abaixo usando um fator integrante:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
usando fator integrante. Aqui vamos tratar ela como diferencial exata ou quase exata, identificando
e procurando um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial:
portanto
Passo 3
Verificamos a quase exatidão calculando
O critério para fator integrante
depende de
que é função só de
. Logo
Para simplificar, assumimos
e usamos
.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
com
Agora
, ou seja, a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
logo
Para determinar
, usamos
Integramos em
:
Portanto
Passo 6
A solução implícita geral é
isto é
Podemos reescrever