Argumente fisicamente a necessidade da função de onda ser camplexa.

Passo 1

O enunciado pede um argumento físico para explicar por que a função de onda em mecânica quântica precisa ser obrigatoriamente uma quantidade complexa. Para isso vamos usar três pilares: o fenômeno de interferência dependente de fase contínua, a forma da equação de Schrödinger dependente de i e a definição de corrente de probabilidade.

Passo 2

Interferência quântica exige uma fase contínua ajustável. Se a função de onda fosse puramente real, só restaria uma “fase” discreta \pm1, sem possibilidade de deslocar continuamente as franjas de interferência. Ao permitir
\psi \to e^{i\alpha}\psi
com \alpha\in\mathbb{R}, mantemos |\psi|^2 inalterado e conseguimos modelar mudanças contínuas nas franjas de interferência, tal como observado em experimentos de dupla fenda.

Passo 3

A equação de Schrödinger dependente de i\hbar é de primeira ordem em tempo:
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat H\,\psi.
Se \psi fosse real num instante, o lado esquerdo seria imaginário puro e o direito real puro, gerando inconsistência. A presença de i força \psi a adquirir componentes complexas ao longo da evolução, garantindo uma evolução unitaritária que preserva \displaystyle\int|\psi|^2.

Passo 4

O fluxo ou corrente de probabilidade é dado por
\mathbf J = \frac{\hbar}{2m i}\bigl(\psi^*\nabla\psi \;-\;\psi\nabla\psi^*\bigr).
Se \psi fosse real, teríamos \psi^*=\psi e portanto \mathbf J=0, o que impediria qualquer transporte de probabilidade (partículas em movimento). A complexidade de \psi é essencial para gerar correntes não nulas.

Resposta

A função de onda deve ser complexa porque somente assim conseguimos (1) uma fase contínua para explicar interferência, (2) consistência e unitariedade na equação de Schrödinger com o fator i, e (3) um fluxo de probabilidade não-nulo que descreva o movimento quântico.

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