Integral de Planck. Lei de Stefan-Boltzmann. A Lei de Planck determina a intensidade espectral da radiação eletromagnética emitida por um corpo negro em equilíbrio termodinâmico a uma temperatura absoluta T. Esta intensidade é dada por
sendo
a potência emitida por unidade de área da superfície emissora por unidade de ângulo sólido por frequência
. As quantidades
e
são, respectivamente, as constantes de Planck e Boltzmann e a velocidade da luz no vácuo. A Lei de Stefan-Boltzmann fornece a potência total emitida por unidade de área do corpo negro, ou seja,
a integral que se deseja calcular, a qual é obtida por uma simples troca de variáveis de integração. Obtenha
acima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
que aparece na Lei de Stefan–Boltzmann. Para resolvê-la, vamos usar a expansão em série da função
e a integral que define a função Gama, além do valor conhecido de
.
Passo 2
Usamos a identidade de série geométrica para
Substituindo na integral e trocando soma por integral (justificado por convergência positiva), temos
Passo 3
Reconhecemos a integral de Gama:
Logo,
Passo 4
Usamos o valor clássico
portanto