Integral de Planck. Lei de Stefan-Boltzmann. A Lei de Planck determina a intensidade espectral da radiação eletromagnética emitida por um corpo negro em equilíbrio termodinâmico a uma temperatura absoluta T. Esta intensidade é dada por
I(v, T)=\frac{2 h}{c^{2}} \frac{v^{3}}{e^{h v / k_{B} T}-1}
sendo I(v, T) a potência emitida por unidade de área da superfície emissora por unidade de ângulo sólido por frequência v. As quantidades h, k_{B} e c são, respectivamente, as constantes de Planck e Boltzmann e a velocidade da luz no vácuo. A Lei de Stefan-Boltzmann fornece a potência total emitida por unidade de área do corpo negro, ou seja,
j=\pi \int_{0}^{+\infty} I(v, T) d v=\frac{2 \pi h}{c^{2}}\left(\frac{k_{B} T}{h}\right)^{4} I_{P} \text {, sendo } I_{P}=\int_{0}^{+\infty} \frac{u^{3} d u}{e^{u}-1}
a integral que se deseja calcular, a qual é obtida por uma simples troca de variáveis de integração. Obtenha I_{P} acima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I_{P} = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{3}\,du}{e^{u}-1}
que aparece na Lei de Stefan–Boltzmann. Para resolvê-la, vamos usar a expansão em série da função 1/(e^{u}-1) e a integral que define a função Gama, além do valor conhecido de \zeta(4).

Passo 2

Usamos a identidade de série geométrica para
\frac{1}{e^{u}-1} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\,u}.
Substituindo na integral e trocando soma por integral (justificado por convergência positiva), temos
I_{P} = \int_{0}^{\infty} u^{3}\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\,u}\Bigr)\,du = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-n\,u}\,du.

Passo 3

Reconhecemos a integral de Gama:
\int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-n\,u}\,du = \frac{\Gamma(4)}{n^{4}} = \frac{3!}{n^{4}} = \frac{6}{n^{4}}.
Logo,
I_{P} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n^{4}} = 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}} = 6\,\zeta(4).

Passo 4

Usamos o valor clássico
\zeta(4) = \frac{\pi^{4}}{90},
portanto
I_{P} = 6 \times \frac{\pi^{4}}{90} = \frac{\pi^{4}}{15}.

Resposta

I_{P} = \frac{\pi^{4}}{15}.

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