Integrais de Fresnel. Difração de ondas eletromagnéticas. As integrais
C=\int_{0}^{+\infty} \cos \left(t x^{2}\right) d x \quad \text { e } \quad S=\int_{0}^{+\infty} \sin \left(t x^{2}\right) d x
correspondem aos valores assintóticos das funções de Fresnel, as quais descrevem a difração de ondas eletromagnéticas em um único obstáculo pontiagudo (difração de canto). Resolva as integrais acima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais improprias
C=\int_{0}^{+\infty}\cos\bigl(t\,x^{2}\bigr)\,dx \quad\text{e}\quad S=\int_{0}^{+\infty}\sin\bigl(t\,x^{2}\bigr)\,dx,
que aparecem como valores limites das funções de Fresnel na difração de ondas. Vamos usar uma mudança de variável para reduzir ao cálculo das integrais padrão \displaystyle\int_{0}^{\infty}\cos(u^{2})du e \displaystyle\int_{0}^{\infty}\sin(u^{2})du.

Passo 2

Faça a substituição
u = \sqrt{t}\,x \;\Longrightarrow\; x=\frac{u}{\sqrt{t}}, \quad dx=\frac{du}{\sqrt{t}}.
Então
C =\int_{0}^{\infty}\cos(t\,x^{2})\,dx =\int_{0}^{\infty}\cos\bigl(u^{2}\bigr)\,\frac{du}{\sqrt{t}} =\frac{1}{\sqrt{t}}\int_{0}^{\infty}\cos(u^{2})\,du,
e, de maneira análoga,
S =\frac{1}{\sqrt{t}}\int_{0}^{\infty}\sin(u^{2})\,du.

Passo 3

É um resultado clássico (obtido por exemplo via a integral complexa \int_{0}^{\infty}e^{i\,u^{2}}du ou por simetria em coordenadas polares) que
\int_{0}^{\infty}\cos(u^{2})\,du \;=\; \int_{0}^{\infty}\sin(u^{2})\,du \;=\; \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

Passo 4

Substituindo esse valor em C e S, obtemos
C = \frac{1}{\sqrt{t}}\;\sqrt{\frac{\pi}{8}} =\sqrt{\frac{\pi}{8\,t}}, \quad S = \sqrt{\frac{\pi}{8\,t}}.

Resposta

C = \sqrt{\frac{\pi}{8\,t}} \quad\text{e}\quad S = \sqrt{\frac{\pi}{8\,t}}, \quad t>0.

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