Dê um argumento geométrico para mostrar que
integral0^1 integral0^raiz1-y^2 raiz1-x^2-y^2 d x d y=pi6

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por argumento geométrico, que
integral0^1integral0^raiz1-y^2raiz1-x^2-y^2,dx,dy=pi6
Estamos lidando com cálculo de volume de um sólido via integral dupla, interpretando
raiz1-x^2-y^2 como a altura do sólido sobre uma região no plano xy.

Passo 2

Definimos a região no plano xy por
D=l(x,y)mid 0<= y<=1,;0<= x<=raiz1-y^2r
Essa é exatamente a quarta parte do disco de raio 1 centrado na origem, ou seja
(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=1.

Passo 3

A integral dupla
integral duplaDraiz1-x^2-y^2,dx,dy
é o volume do sólido
S=l(x,y,z)mid(x,y)in D,;0<= z<=raiz1-x^2-y^2r
Mas S é exatamente a porção do interior da esfera unitária x^2+y^2+z^2<=1 no primeiro octante ( x,y,z>=0).

Passo 4

Como o volume da esfera de raio 1 é
Vesfera=43picdot1^3=4pi3,
a porção em cada octante corresponde a um oitavo desse volume, isto é
V(S)=18,Vesfera =18cdot4pi3 =pi6

Resposta

pi6

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