Dê um argumento geométrico para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por argumento geométrico, que
Estamos lidando com cálculo de volume de um sólido via integral dupla, interpretando
como a altura do sólido sobre uma região no plano
.
Passo 2
Definimos a região no plano
por
Essa é exatamente a quarta parte do disco de raio
centrado na origem, ou seja
.
Passo 3
A integral dupla
é o volume do sólido
Mas
é exatamente a porção do interior da esfera unitária
no primeiro octante (
).
Passo 4
Como o volume da esfera de raio
é
a porção em cada octante corresponde a um oitavo desse volume, isto é