Determine se as equações são lineares ou não, e escreva na forma de uma equação diferencial linear,
dydx+f(x) y=g(x)
x-y^prime=x y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x - y' = x,y
e pede para verificarmos se ela é linear e, em caso afirmativo, colocá-la na forma padrão
dydx + f(x),y = g(x)
Lembrando que uma ODE de primeira ordem é linear se puder ser escrita como dydx + f(x),y = g(x), com f e g funções conhecidas de x.

Passo 2

Vamos isolar y'. Partimos de
x - y' = x,y
e passamos y' para o outro lado e x,y para o lado esquerdo:
-,y' = x,y - x
Multiplicando por -1, obtemos
y' = -,x,y + x

Passo 3

Agora basta reorganizar para a forma padrão dydx+f(x),y=g(x). Reescrevendo
y' + x,y = x
Aqui vemos que estamos exatamente na forma linear desejada.

Passo 4

Comparando com dydx+f(x),y=g(x), extraímos:
f(x) = x, g(x) = x

Resposta

A equação é linear e, na forma dydx+f(x),y=g(x), temos
dydx + x,y = x,
onde f(x)=x e g(x)=x.

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