Um armário contém 3 gavetas: na 1^a estão 4 peças de uma só cor e 3 peças xadrez, na 2^ an ; estão 3 peças de uma só cor e 5 xadrez, na 3^ a ; estão 7 peças de uma só cor e 2 xadrez. Uma gaveta é escolhida, ao acaso, e uma peça de roupa é retirada. Se ele for xadrez, qual a probabilidade de ter sido da 2^3 gaveta?
[50%]
33

Passo 1

Então vamos nessa: a questão diz que tem um armário com 3 gavetas, cada uma com peças de uma só cor e peças xadrez, e escolhemos uma gaveta ao acaso (probabilidade 1/3) e tiramos uma peça. Sabendo que a peça é xadrez, queremos a probabilidade de ela ter vindo da segunda gaveta. O conteúdo aqui é Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as probabilidades básicas: a probabilidade de escolher cada gaveta é P(Gi)=tfrac13. A probabilidade de tirar peça xadrez em cada gaveta é: P(X|G1)=tfrac37, P(X|G2)=tfrac58 e P(X|G3)=tfrac29.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de Bayes pra achar P(G2|X). A fórmula é:

Passo 4

P(G2|X) = P(X|G2)cdot P(G2)P(X|G1)cdot P(G1)+P(X|G2)cdot P(G2)+P(X|G3)cdot P(G3)

Passo 5

Vamos calcular numerador e denominador: o numerador é P(X|G2)cdot P(G2)=tfrac58cdottfrac13=tfrac524. No denominador somamos:
tfrac37cdottfrac13=tfrac17,
tfrac58cdottfrac13=tfrac524 e
tfrac29cdottfrac13=tfrac227.

Passo 6

Agora vamos pôr tudo junto: denominação comum dá
tfrac17+tfrac524+tfrac227=tfrac2161512+tfrac3151512+tfrac1121512=tfrac6431512
Então

Passo 7

P(G2|X)=5/24643/1512=524times1512643=315643approx0,4896

Resposta

315643 (aprox. 48{,}96%)

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