Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e duas brancas. Três bolas são retiradas. Qual a probabilidade de se retirar 2 pretas e uma vermelha?
a) sem reposição? [25%]
b) com reposição?
[22,5%]

Passo 1

A questão diz que temos uma urna com 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas, e queremos a probabilidade de retirar exatamente 2 pretas e 1 vermelha em 3 retiradas, analisando dois cenários: sem reposição e com reposição. Isso envolve probabilidade clássica, combinações e distribuição binomial.

Passo 2

Para o caso sem reposição, cada retirada altera o total de bolas e as probabilidades. Vamos usar combinações para contar resultados possíveis. A combinação de n elementos tomados k a k é dada por
binomnk = n!k!(n-k)!
O total de formas de escolher 3 bolas de 10 é binom103 = 120. O número de jeitos de escolher 2 pretas de 5 é binom52 = 10 e de escolher 1 vermelha de 3 é binom31 = 3. Então a probabilidade sem reposição é
binom52cdotbinom31binom103 = 10cdot3120 = 0,25
ou seja 25%.

Passo 3

Agora, com reposição, cada retirada é independente e as probabilidades não mudam: preta é 510=0,5 e vermelha é 310=0,3. Queremos 2 pretas e 1 vermelha em qualquer ordem, então usamos a distribuição binomial. O número de formas de colocar 1 vermelha em 3 posições é binom31=3. A probabilidade de uma ordem específica (duas pretas e uma vermelha) é (0,5)^2cdot(0,3)^1 = 0,075. Logo, a probabilidade com reposição é
3 times 0,075 = 0,225
ou seja 22,5%.

Resposta

a) 25%; b) 22,5%

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