Em um armazém, há um certo número de caixas de um determinado produto, todas adquiridas do fabricante em uma mesma data. Foi recebido um comunicado do fabricante, avisando que 20 % das caixas expedidas naquela data apresentam problemas: nelas, 40% das unidades produzidas estavam defeituosas, contra 5% das caixas normais. Uma das caixas do depósito, escolhida ao acaso, foi aberta para ser examinada. Uma unidade, foi escolhida também ao acaso, desta caixa.
a) Qual é a probabilidade de que essa unidade seja defeituosa?
b) Dado que a unidade é defeituosa, qual é a probabilidade de que a caixa examinada seja uma das caixas com problemas?
c) Dado que a unidade não é defeituosa, qual é a probabilidade de que a caixa examinada seja uma das caixas com problema?

Passo 1

O enunciado diz que 20% das caixas são “com problemas” (evento C) e nas caixas com problemas a taxa de unidades defeituosas é 40%, enquanto nas caixas normais ( C^c) é 5%. Vamos chamar de D o evento “unidade defeituosa”. Para (a) usamos a lei da probabilidade total e para (b) e (c) usamos a regra de Bayes.

Passo 2

Aplicando a lei da probabilidade total para P(D):
P(D)=P(C),P(Dmid C)+P(C^c),P(Dmid C^c) =0,2cdot0,4 + 0,8cdot0,05 =0,08 + 0,04 =0,12

Passo 3

Para P(Cmid D) (probabilidade de ser caixa com problemas dado que a unidade é defeituosa), usamos a regra de Bayes:
P(Cmid D) =P(Dmid C),P(C)P(D) =0,4cdot0,20,12 =0,080,12 =tfrac23

Passo 4

Para P(Cmid D^c) (probabilidade de ser caixa com problemas dado que a unidade não é defeituosa), observamos que P(D^cmid C)=1-0,4=0,6 e P(D^c)=1-0,12=0,88. Então
P(Cmid D^c) =P(D^cmid C),P(C)P(D^c) =0,6cdot0,20,88 =0,120,88 =tfrac322

Resposta

(a) 12%.
(b) tfrac23 (aprox. 66,7%).
(c) tfrac322 (aprox. 13,64%).

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