Armazenamento de água: O nível da água, em um grande reservatório aberto de paredes verticais, tem elevação
. Faz-se um furo na parede à uma profundidade
abaixo da superfície. A que distância horizontal do pé da parede o jato de água atingirá o solo? Qual o valor de
que torna o alcance horizontal do jato de água máximo? Se o diâmetro do furo for igual a 2 cm , que quantidade de água escoará pelo furo durante 1 h ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informações dadas:
- A elevação da superfície da água, medida em relação ao solo, é
. - Abre-se um furo na parede vertical a uma profundidade
abaixo da superfície da água. - O furo tem diâmetro
(essa informação só vale para a última pergunta). - Abertura é em reservatório aberto (pressão atmosférica em superfície e no exterior do jato).
- A elevação da superfície da água, medida em relação ao solo, é
- Perguntas:
- A que distância horizontal do pé da parede o jato de água atingirá o solo? (queremos
em função de e ) - Qual o valor de
que torna o alcance horizontal do jato máximo? - Se o diâmetro do furo for
, que quantidade de água escoará pelo furo durante ? (dar expressão/valor em função de ou para o caso mais relevante)
- A que distância horizontal do pé da parede o jato de água atingirá o solo? (queremos
Passo 2
Velocidade de saída do jato (Torricelli). Vou deduzir e explicar passo a passo.
- Ideia física: a pressão hidrostática à profundidade
abaixo da superfície é (onde é a densidade da água e a aceleração da gravidade). Como o exterior do jato está à pressão atmosférica, a diferença de pressão converte-se em energia cinética do jato. Esse resultado pode ser obtido por Bernoulli ou por conservação de energia e é conhecido como teorema de Torricelli. - Fórmula (Torricelli):
onde
-
é a velocidade de saída do jato (m/s), -
é a aceleração da gravidade (use ), -
é a profundidade do furo abaixo da superfície (m).
Explicação breve: a energia potencial por unidade de massa
se transforma em energia cinética
, daí
.
Passo 3
Altura do orifício em relação ao solo e tempo de queda.
- A altura do furo acima do solo é a diferença entre a elevação da superfície e a profundidade do furo:
- O jato sai horizontalmente (assumimos saída horizontal), então a componente vertical inicial da velocidade é zero. O tempo
que a gota leva para atingir o solo sai da equação do movimento uniformemente acelerado:
Para atingir o solo
, então
Expliquei: usamos
com
e distância a cair
.
Passo 4
Alcance horizontal
.
- A velocidade horizontal é
(Passo 2) e é constante durante o voo (desprezando resistência do ar). - A distância horizontal percorrida é
. Substituindo e :
- Simplificando:
Comentário didático: essa expressão mostra que o alcance depende somente do produto
. Para cada profundidade
a velocidade e a altura de queda mudam de forma compensatória.
Passo 5
Valor de
que maximiza o alcance
.
- O alcance é proporcional a
. Maximizar equivale a maximizar . - Derivando
em relação a e igualando a zero:
- Segundo derivada
, então é máximo. - Substituindo
na expressão do alcance:
Conclusão: o alcance horizontal é máximo quando o furo está a meio caminho da superfície (
), e esse alcance máximo é
(a distância horizontal máxima é igual à elevação
).
Passo 6
Vazão volumétrica e volume escapado em
.
- Área do furo: diâmetro
, então raio . A área da seção é
- Vazão volumétrica ideal (desprezando perdas e contração do jato) é
- Volume que escapa em um tempo
é
Para
:
- Podemos simplificar numericamente o fator
:
Assim
- Se quisermos o volume no caso em que o furo está na posição que maximiza o alcance, substituímos
. Observando que , obtemos
- Em litros (1 m^3 = 1000 L):
- Substituindo
para obter forma mais simples:
onde
está em metros.
Passo 7
Observações práticas (rápido e útil para a prova):
- As expressões acima são para o caso ideal (sem viscosidade, sem contração do jato). Na prática, usa-se um coeficiente de descarga
(típico a para pequenos furos) e a vazão real é
portanto o volume real em
seria
(onde
é o valor ideal calculado acima).
- Resumo mental para a prova: velocidade pela profundidade (
), tempo de queda pela altura até o solo ( ), alcance ; máximo em com . Para vazão: .
Resposta
Para
e tempo
(
), o volume ideal que escoa é
(para
isso fica
, ou
, com
em metros).