Armazenamento de água: O nível da água, em um grande reservatório aberto de paredes verticais, tem elevação H. Faz-se um furo na parede à uma profundidade h abaixo da superfície. A que distância horizontal do pé da parede o jato de água atingirá o solo? Qual o valor de h que torna o alcance horizontal do jato de água máximo? Se o diâmetro do furo for igual a 2 cm , que quantidade de água escoará pelo furo durante 1 h ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • A elevação da superfície da água, medida em relação ao solo, é \,H.
    • Abre-se um furo na parede vertical a uma profundidade \,h abaixo da superfície da água.
    • O furo tem diâmetro 2\\ \text{cm} (essa informação só vale para a última pergunta).
    • Abertura é em reservatório aberto (pressão atmosférica em superfície e no exterior do jato).
  • Perguntas:
    1. A que distância horizontal do pé da parede o jato de água atingirá o solo? (queremos x em função de H e h)
    2. Qual o valor de \,h que torna o alcance horizontal do jato máximo?
    3. Se o diâmetro do furo for 2\\ \text{cm}, que quantidade de água escoará pelo furo durante 1\\ \text{h}? (dar expressão/valor em função de H ou para o caso mais relevante)

Passo 2

Velocidade de saída do jato (Torricelli). Vou deduzir e explicar passo a passo.
  • Ideia física: a pressão hidrostática à profundidade \,h abaixo da superfície é \rho g h (onde \rho é a densidade da água e g a aceleração da gravidade). Como o exterior do jato está à pressão atmosférica, a diferença de pressão converte-se em energia cinética do jato. Esse resultado pode ser obtido por Bernoulli ou por conservação de energia e é conhecido como teorema de Torricelli.
  • Fórmula (Torricelli):
v=\sqrt{2gh}
onde
  • v é a velocidade de saída do jato (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (use g\approx 9,8\\ \text{m/s}^2),
  • h é a profundidade do furo abaixo da superfície (m).
Explicação breve: a energia potencial por unidade de massa (g h) se transforma em energia cinética (v^2/2), daí v^2/2 = g h \Rightarrow v=\sqrt{2gh}.

Passo 3

Altura do orifício em relação ao solo e tempo de queda.
  • A altura do furo acima do solo é a diferença entre a elevação da superfície e a profundidade do furo:
y_0 = H - h.
  • O jato sai horizontalmente (assumimos saída horizontal), então a componente vertical inicial da velocidade é zero. O tempo t que a gota leva para atingir o solo sai da equação do movimento uniformemente acelerado:
y(t) = y_0 - \frac{1}{2} g t^2.
Para atingir o solo y(t)=0, então
0 = y_0 - \tfrac{1}{2} g t^2 \quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2y_0}{g}}=\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}.
Expliquei: usamos s=\tfrac{1}{2} a t^2 com a=g e distância a cair y_0.

Passo 4

Alcance horizontal x.
  • A velocidade horizontal é v=\sqrt{2gh} (Passo 2) e é constante durante o voo (desprezando resistência do ar).
  • A distância horizontal percorrida é x=v\cdot t. Substituindo v e t:
x=\sqrt{2gh}\,\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}.
  • Simplificando:
x = 2\sqrt{h(H-h)}.
Comentário didático: essa expressão mostra que o alcance depende somente do produto h(H-h). Para cada profundidade h a velocidade e a altura de queda mudam de forma compensatória.

Passo 5

Valor de \,h que maximiza o alcance x.
  • O alcance é proporcional a \sqrt{h(H-h)}. Maximizar x equivale a maximizar f(h)=h(H-h)=Hh-h^2.
  • Derivando f(h) em relação a h e igualando a zero:
f'(h)=H-2h=0 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{H}{2}.
  • Segundo derivada f''(h)=-2<0, então é máximo.
  • Substituindo h=\tfrac{H}{2} na expressão do alcance:
x_{\max}=2\sqrt{\frac{H}{2}\Bigl(H-\frac{H}{2}\Bigr)}=2\sqrt{\frac{H}{2}\cdot\frac{H}{2}}=2\cdot\frac{H}{2}=H.
Conclusão: o alcance horizontal é máximo quando o furo está a meio caminho da superfície ( h=H/2), e esse alcance máximo é x_{\max}=H (a distância horizontal máxima é igual à elevação H).

Passo 6

Vazão volumétrica e volume escapado em 1\\ \text{h}.
  • Área do furo: diâmetro d=2\\ \text{cm}=0,02\\ \text{m}, então raio r=0,01\\ \text{m}. A área da seção é
A=\pi r^2=\pi(0,01)^2=\pi\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão volumétrica ideal (desprezando perdas e contração do jato) é
Q = A v = A\sqrt{2gh}.
  • Volume que escapa em um tempo T é
V = Q T = A\sqrt{2gh}\;T.
Para T=1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}:
V = 3600\,A\sqrt{2gh}=3600\,\pi\cdot 10^{-4}\sqrt{2gh}\\ \text{m}^3.
  • Podemos simplificar numericamente o fator 3600\pi\cdot10^{-4}:
3600\pi\cdot10^{-4}\approx 0,113097\quad\text{(m}^3\text{)/(m}^{1/2}\text{·s}^{1/2})\\ \text{aplicado a }\sqrt{2gh}.
Assim
V\approx 0,113097\sqrt{2gh}\\ \text{m}^3.
  • Se quisermos o volume no caso em que o furo está na posição que maximiza o alcance, substituímos h=\tfrac{H}{2}. Observando que \sqrt{2g\cdot \tfrac{H}{2}}=\sqrt{gH}, obtemos
V_{\text{(para }h=H/2)} = 3600\pi\cdot 10^{-4}\sqrt{gH}\approx 0,113097\sqrt{gH}\\ \text{m}^3.
  • Em litros (1 m^3 = 1000 L):
V_{\text{(para }h=H/2)} \approx 1000\cdot 0,113097\sqrt{gH}\approx 113,097\sqrt{gH}\\ \text{L}.
  • Substituindo g\approx 9,8\\ \text{m/s}^2 para obter forma mais simples:
V_{\text{(para }h=H/2)}\approx 0,3544\sqrt{H}\\ \text{m}^3 \approx 354,4\sqrt{H}\\ \text{L},
onde H está em metros.

Passo 7

Observações práticas (rápido e útil para a prova):
  • As expressões acima são para o caso ideal (sem viscosidade, sem contração do jato). Na prática, usa-se um coeficiente de descarga C_d (típico C_d\approx 0,6 a 0,8 para pequenos furos) e a vazão real é
Q_{\text{real}} = C_d\,A\sqrt{2gh},
portanto o volume real em 1\\ \text{h} seria V_{\text{real}} = C_d\cdot V (onde V é o valor ideal calculado acima).
  • Resumo mental para a prova: velocidade pela profundidade ( v=\sqrt{2gh}), tempo de queda pela altura até o solo ( t=\sqrt{2(H-h)/g}), alcance x=2\sqrt{h(H-h)}; máximo em h=H/2 com x_{\max}=H. Para vazão: Q=A\sqrt{2gh}.

Resposta

x=2\sqrt{h(H-h)}.
h_{\text{máx}}=\dfrac{H}{2}á (com alcance máximo x_{\max}=H).
Para d=2\\ \text{cm} e tempo 1\\ \text{h} ( T=3600\\ \text{s}), o volume ideal que escoa é
V=3600\pi\cdot 10^{-4}\sqrt{2gh}\\ \text{m}^3
(para h=\tfrac{H}{2} isso fica V\approx 0,113097\sqrt{gH}\\ \text{m}^3, ou V\approx 0,3544\sqrt{H}\\ \text{m}^3 \approx 354,4\sqrt{H}\\ \text{L}, com H em metros).

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