Armazenamento de Dados: O volume de dados de um servidor dobra a cada 18 meses. Se hoje o volume é de 10 TB , escreva a função V(t) e calcule o volume após 6 anos ( t em meses).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O volume atual é de 10\\ \text{TB}.
    • O volume dobra a cada 18 meses.
    • A variável t está em meses.
  • Perguntas:
    1. Escrever a função V(t) que dá o volume em função de t.
    2. Calcular o volume após 6 anos (lembrando que t deve estar em meses).

Passo 2

Entendendo o modelo de crescimento por “dobrar”: quando uma quantidade dobra a cada intervalo fixo de tempo, isso é um crescimento exponencial. A forma geral para um processo que dobra a cada T_d unidades de tempo é
V(t)=V_0\cdot 2^{t/T_d},
onde:
  • V(t) é o volume no instante t;
  • V_0 é o volume inicial (quando t=0);
  • T_d é o tempo de dobramento (doubling time), na mesma unidade que t;
  • 2^{t/T_d} é a potência que representa quantas vezes a quantidade original foi multiplicada (por exemplo, se t=T_d então 2^{t/T_d}=2, dobra uma vez).
Explicando de forma bem intuitiva: a cada intervalo T_d o fator multiplicativo é 2. Depois de 2T_d o fator é 2^2, depois de 3T_d é 2^3, e para tempo geral t o expoente fica t/T_d.

Passo 3

Aplicando os dados do enunciado na fórmula:
  • V_0 = 10\\ \text{TB}.
  • T_d = 18 meses.
    Portanto a função pedida é
V(t)=10\\ \text{TB}\cdot 2^{t/18}.

Passo 4

Converter 6 anos para meses (já que t está em meses):
6\\ \text{anos} = 6\times 12 = 72\\ \text{meses}.

Passo 5

Calcular V(72) substituindo t=72 na função encontrada:
V(72)=10\\ \text{TB}\cdot 2^{72/18}.
Calcular o expoente:
\frac{72}{18}=4.
Então
V(72)=10\\ \text{TB}\cdot 2^{4}.

Passo 6

Calcular 2^{4} e multiplicar por 10:
2^{4}=16,
V(72)=10\\ \text{TB}\cdot 16 = 160\\ \text{TB}.

Passo 7

Pequena observação extra (útil na prova): é possível expressar o mesmo crescimento na forma contínua V(t)=V_0 e^{kt} onde k é a taxa por mês. Aqui k satisfaz e^{k\cdot 18}=2, ou seja
k=\frac{\ln 2}{18}.
Assim V(t)=10\\ \text{TB}\cdot e^{(\ln 2)t/18}, que é algebraicamente equivalente a 10\\ \text{TB}\cdot 2^{t/18}. Isso pode ser útil se aparecer integração ou taxa contínua em outra questão.

Resposta

V(t)=10\\ \text{TB}\cdot 2^{t/18}
V(72)=160\\ \text{TB}

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