Ganho em Decibéis: O ganho em dB é
G=20 \log _{10}\left(\frac{V_{o u t}}{V_{i n}}\right)
Se o ganho medido é 40 dB , qual a razão entre as tensões de saída e entrada?

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula do ganho em decibéis e fornece o valor do ganho medido. Em resumo:
  • Fórmula dada: G = 20 \log_{10}\!\left(\frac{V_{out}}{V_{in}}\right).
  • Ganho medido: G = 40\\ \text{dB}.
O que se pede: encontrar a razão entre as tensões de saída e entrada, isto é \dfrac{V_{out}}{V_{in}}.

Passo 2

Vou explicar rapidamente o que aparece na fórmula para você ficar confortável na prova:
  • \log_{10}(x) é o logaritmo na base 10 de x. Ele responde à pergunta: “10 elevado a que potência dá x ?”.
  • Na fórmula, \log_{10}\!\left(\dfrac{V_{out}}{V_{in}}\right) é esse logaritmo aplicado à razão das tensões.
  • Para isolar a razão \dfrac{V_{out}}{V_{in}} precisamos “desfazer” o logaritmo — isto é feito aplicando a exponenciação na base 10: se \log_{10}(y)=a então y=10^{a}.

Passo 3

Agora aplico a equação com o valor dado e faço a álgebra passo a passo. Começo escrevendo a equação com G=40:
40 = 20 \log_{10}\!\left(\frac{V_{out}}{V_{in}}\right).
Divido ambos os lados por 20 para isolar o logaritmo:
\log_{10}\!\left(\frac{V_{out}}{V_{in}}\right) = \frac{40}{20} = 2.

Passo 4

Agora removo o logaritmo aplicando a potência de base 10 aos dois lados (inverso do logaritmo):
\frac{V_{out}}{V_{in}} = 10^2 = 100.
Interpretação prática: o sinal de saída tem amplitude 100 vezes maior que a do sinal de entrada.

Passo 5

Dica útil para a prova (memorização rápida): a relação geral é
\frac{V_{out}}{V_{in}} = 10^{G/20},
ou seja, cada 20\\ \text{dB} corresponde a um fator 10 na tensão. Ex.: 20\\ \text{dB}\rightarrow\times 10, 40\\ \text{dB}\rightarrow\times 100. Outra referência rápida: 6\\ \text{dB} é aproximadamente \times 2 porque 20\log_{10}(2)\approx 6{,}02\\ \text{dB}.

Resposta

\dfrac{V_{out}}{V_{in}} = 100

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