Determine o domínio matemático da função logarítmica
H(p)=-\log _{2}(p)

Passo 1

O enunciado dá a função H(p) = -\log_{2}(p) e pede para determinar o domínio matemático dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é H(p) = -\log_{2}(p).
  • A letra p é a variável independente (o valor de entrada da função).
  • A base do logaritmo é 2.

Passo 2

O que significa existir o logaritmo \log_{b}(x)?
Definição/propósito: \log_{b}(x) é o número y tal que b^{y}=x. Ou seja,
\log_{b}(x)=y \quad\Longleftrightarrow\quad b^{y}=x.
Do lado direito, b^{y} é uma potência de b. Uma propriedade fundamental da função exponencial com base positiva é que b^{y}>0 para todo y\in\mathbb{R}. Portanto, para que exista um y real com b^{y}=x, é necessário que
x>0.
Conclusão geral: para qualquer base b com b>0 e b\neq1, o logaritmo \log_{b}(x) está definido somente quando x>0.

Passo 3

Verificação da base neste problema: a base é b=2. Ela satisfaz 2>0 e 2\neq1, portanto \log_{2}(\cdot) é uma função logarítmica legítima e segue a regra do passo anterior: seu argumento precisa ser estritamente positivo.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função: o argumento do logaritmo é p. Para \log_{2}(p) existir (como número real) devemos ter
p>0.
O sinal negativo que multiplica o logaritmo em H(p)=-\log_{2}(p) é apenas uma multiplicação por -1, operação que não impõe restrição adicional ao domínio (multiplicar um número real por -1 é sempre possível). Logo a única condição para H(p) existir é p>0.

Passo 5

Exemplos curtos para fixar a intuição:
  • Para p=1: \log_{2}(1)=0, então H(1)=-0=0. OK porque 1>0.
  • Para p=2: \log_{2}(2)=1, então H(2)=-1. OK.
  • Para p=\tfrac{1}{2}: \log_{2}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-1, então H\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=1. OK.
    Contrastando: para p=0 não existe y real com 2^{y}=0, logo \log_{2}(0) é indefinido (tende a -\infty ao aproximar por valores positivos). Para p<0 também não existe solução real de 2^{y}=p, pois potência de 2 nunca é negativa. Portanto p\le 0 está fora do domínio.

Passo 6

Conclusão final do raciocínio: o domínio da função H(p)=-\log_{2}(p) é o conjunto de todos os números reais positivos, isto é,
\{\,p\in\mathbb{R}\mid p>0\,\}.

Resposta

(0,\infty)

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