Determine o domínio matemático da função logarítmica
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o domínio matemático dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A letra
é a variável independente (o valor de entrada da função). - A base do logaritmo é
.
Passo 2
O que significa existir o logaritmo
?
Definição/propósito: é o número
tal que
. Ou seja,
Definição/propósito:
Do lado direito,
é uma potência de
. Uma propriedade fundamental da função exponencial com base positiva é que
para todo
. Portanto, para que exista um
real com
, é necessário que
Conclusão geral: para qualquer base
com
e
, o logaritmo
está definido somente quando
.
Passo 3
Verificação da base neste problema: a base é
. Ela satisfaz
e
, portanto
é uma função logarítmica legítima e segue a regra do passo anterior: seu argumento precisa ser estritamente positivo.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função: o argumento do logaritmo é
. Para
existir (como número real) devemos ter
O sinal negativo que multiplica o logaritmo em
é apenas uma multiplicação por
, operação que não impõe restrição adicional ao domínio (multiplicar um número real por
é sempre possível). Logo a única condição para
existir é
.
Passo 5
Exemplos curtos para fixar a intuição:
- Para
: , então . OK porque . - Para
: , então . OK. - Para
: , então . OK.
Contrastando: paranão existe real com , logo é indefinido (tende a ao aproximar por valores positivos). Para também não existe solução real de , pois potência de nunca é negativa. Portanto está fora do domínio.
Passo 6
Conclusão final do raciocínio: o domínio da função
é o conjunto de todos os números reais positivos, isto é,