Decaimento de Sinal: Um sinal decai conforme S(t)=S_{0} \cdot e^{-0,5 t}. Determine o tempo necessário para o sinal reduzir à metade do valor inicial ( S_{0} / 2 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a lei do decaimento
S(t)=S_{0}\cdot e^{-0,5\,t},
onde S_{0} é o valor inicial do sinal e t é o tempo (em alguma unidade de tempo, por exemplo segundos). A pergunta é: determinar o tempo t necessário para o sinal reduzir à metade do valor inicial, isto é, quando S(t)=\dfrac{S_{0}}{2}.
Informações relevantes:
  • Lei do sinal: S(t)=S_{0}\cdot e^{-0,5\,t}.
  • Valor desejado: S(t)=\dfrac{S_{0}}{2}.
  • O que se pede: achar o valor de t que satisfaz isso.

Passo 2

Vamos escrever a condição que representa “reduzir à metade” substituindo S(t) por \dfrac{S_{0}}{2}:
S_{0}\cdot e^{-0,5\,t}=\dfrac{S_{0}}{2}.
Isto é apenas traduzir em equação a frase do enunciado.

Passo 3

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por S_{0}. Isso é válido desde que S_{0}\neq0 (se S_{0}=0 o problema é trivial e não faz sentido perguntar a metade). Após dividir:
e^{-0,5\,t}=\dfrac{1}{2}.
Explicação: dividir por S_{0} cancela o fator comum nos dois lados.

Passo 4

Agora usamos propriedades do logaritmo natural para resolver a equação exponencial. Lembremos duas coisas importantes sobre a função exponencial e o logaritmo natural:
  • A função exponencial é e^{x}, e o logaritmo natural \ln é sua inversa, ou seja \ln(e^{x})=x.
  • Assim, para resolver e^{A}=B (com B>0) podemos aplicar \ln nos dois lados e obter A=\ln B.
Aplicando \ln à equação obtida:
\ln\!\left(e^{-0,5\,t}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Usando \ln(e^{x})=x no lado esquerdo:
-0,5\,t=\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right).
Além disso, \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln(1)-\ln(2)=0-\ln(2)=-\ln 2. Portanto:
-0,5\,t=-\ln 2.
Explicação: a propriedade \ln(a/b)=\ln a-\ln b permite simplificar \ln(1/2).

Passo 6

Isolando t na igualdade:
t=\dfrac{-\ln 2}{-0,5}=\dfrac{\ln 2}{0,5}.
Podemos simplificar \dfrac{1}{0,5}=2, então
t=2\ln 2.
Aqui usamos manipulação algébrica básica para resolver para t.

Passo 7

Calculemos uma aproximação numérica para usar em prova ou checar um resultado prático. Sabendo que \ln 2\approx 0,6931, temos
t=2\ln 2\approx 2\cdot 0,6931\approx 1,3862.
Para leitura com vírgula decimal (convencional em português): t\approx 1,386 (arredondando a três casas decimais).

Passo 8

Interpretação final e dica de prova: o tempo calculado é a chamada meia-vida do decaimento exponencial. Em geral, para uma lei S(t)=S_{0}e^{-\lambda t}, a meia-vida é t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}. Aqui \lambda=0,5, portanto t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{0,5}=2\ln 2.

Resposta

t=2\ln 2\approx 1,386 (unidades de tempo conforme a unidade de t usada na função).

Exercícios relacionados