Decaimento de Sinal: Um sinal decai conforme
. Determine o tempo necessário para o sinal reduzir à metade do valor inicial (
).
Passo 1
O enunciado nos dá a lei do decaimento
onde
é o valor inicial do sinal e
é o tempo (em alguma unidade de tempo, por exemplo segundos). A pergunta é: determinar o tempo
necessário para o sinal reduzir à metade do valor inicial, isto é, quando
.
Informações relevantes:
- Lei do sinal:
. - Valor desejado:
. - O que se pede: achar o valor de
que satisfaz isso.
Passo 2
Vamos escrever a condição que representa “reduzir à metade” substituindo
por
:
Isto é apenas traduzir em equação a frase do enunciado.
Passo 3
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
. Isso é válido desde que
(se
o problema é trivial e não faz sentido perguntar a metade). Após dividir:
Explicação: dividir por
cancela o fator comum nos dois lados.
Passo 4
Agora usamos propriedades do logaritmo natural para resolver a equação exponencial. Lembremos duas coisas importantes sobre a função exponencial e o logaritmo natural:
- A função exponencial é
, e o logaritmo natural é sua inversa, ou seja . - Assim, para resolver
(com ) podemos aplicar nos dois lados e obter .
Aplicando
à equação obtida:
Passo 5
Usando
no lado esquerdo:
Além disso,
. Portanto:
Explicação: a propriedade
permite simplificar
.
Passo 6
Isolando
na igualdade:
Podemos simplificar
, então
Aqui usamos manipulação algébrica básica para resolver para
.
Passo 7
Calculemos uma aproximação numérica para usar em prova ou checar um resultado prático. Sabendo que
, temos
Para leitura com vírgula decimal (convencional em português):
(arredondando a três casas decimais).
Passo 8
Interpretação final e dica de prova: o tempo calculado é a chamada meia-vida do decaimento exponencial. Em geral, para uma lei
, a meia-vida é
. Aqui
, portanto
.