Se
e
, determine a função composta
e seu domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá duas coisas e pede duas respostas:
- Dadas as funções
e com as fórmulas: -
. -
. (Aqui a variável em foi chamada de , ou seja, recebe um número e devolve vezes esse número mais .)
-
- Perguntas:
- Determinar a função composta
. - Determinar o domínio dessa função composta.
- Determinar a função composta
Passo 2
Entendendo composição de funções (explicação didática e simples).
- Se uma função
usa a variável e produz um valor , e outra função toma um número (que podemos chamar de ) e retorna , então a composição significa “aplicar primeiro e depois aplicar ao resultado”. - Em notação:
- Uma maneira prática de fazer a composição é: escreva
como função de uma variável genérica , isto é, , e depois substitua por .
Passo 3
Fazendo a substituição passo a passo.
- Começando com
. Substituindo obtemos - Agora substitui-se
:
Essa é a expressão explícita da função composta.
Passo 4
Determinando o domínio (passo a passo e bem didático).
- Regra geral: o domínio de
é o conjunto de que pertencem ao domínio de e tal que pertence ao domínio de . Em símbolos: - Primeiro, qual é o domínio de
? A raiz quadrada real exige que o radicando seja não negativo, logo - Segundo, qual é o domínio de
? Uma função linear está definida para todo número real, então - Agora aplique a regra da composição: precisamos de
tais que . Mas todo com já é um número real, portanto não há restrição adicional. - Conclusão: o domínio da composição é exatamente o domínio de
:
Passo 5
Verificação rápida com exemplos numéricos (para ganhar confiança).
- Por exemplo, para
: - Para
não faz sentido porque não é real; portanto não pertence ao domínio, conforme concluímos.