Se s(x)=\sqrt{x} e T(s)=10 s+20, determine a função composta T(s(x)) e seu domínio.

Passo 1

O enunciado nos dá duas coisas e pede duas respostas:
  • Dadas as funções s e T com as fórmulas:
    • s(x)=\sqrt{x}.
    • T(s)=10\,s+20. (Aqui a variável em T foi chamada de s, ou seja, T recebe um número e devolve 10 vezes esse número mais 20.)
  • Perguntas:
    1. Determinar a função composta T(s(x)).
    2. Determinar o domínio dessa função composta.

Passo 2

Entendendo composição de funções (explicação didática e simples).
  • Se uma função s usa a variável x e produz um valor s(x), e outra função T toma um número (que podemos chamar de u) e retorna T(u), então a composição T\circ s significa “aplicar s primeiro e depois aplicar T ao resultado”.
  • Em notação: (T\circ s)(x)=T(s(x)).
  • Uma maneira prática de fazer a composição é: escreva T como função de uma variável genérica u, isto é, T(u)=10u+20, e depois substitua u por s(x).

Passo 3

Fazendo a substituição passo a passo.
  • Começando com T(u)=10u+20. Substituindo u=s(x) obtemos T(s(x))=10\,s(x)+20.
  • Agora substitui-se s(x)=\sqrt{x}: T(s(x))=10\,\sqrt{x}+20.
Essa é a expressão explícita da função composta.

Passo 4

Determinando o domínio (passo a passo e bem didático).
  • Regra geral: o domínio de T\circ s é o conjunto de x que pertencem ao domínio de s e tal que s(x) pertence ao domínio de T. Em símbolos: \operatorname{dom}(T\circ s)=\{x\in\operatorname{dom}(s)\mid s(x)\in\operatorname{dom}(T)\}.
  • Primeiro, qual é o domínio de s(x)=\sqrt{x}? A raiz quadrada real exige que o radicando seja não negativo, logo \operatorname{dom}(s)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}=[0,\infty).
  • Segundo, qual é o domínio de T(u)=10u+20? Uma função linear está definida para todo número real, então \operatorname{dom}(T)=\mathbb{R}.
  • Agora aplique a regra da composição: precisamos de x\in[0,\infty) tais que s(x)=\sqrt{x}\in\mathbb{R}. Mas todo \sqrt{x} com x\ge0 já é um número real, portanto não há restrição adicional.
  • Conclusão: o domínio da composição é exatamente o domínio de s: \operatorname{dom}(T\circ s)=[0,\infty).

Passo 5

Verificação rápida com exemplos numéricos (para ganhar confiança).
  • Por exemplo, para x=4: T(s(4))=10\sqrt{4}+20=10\cdot 2+20=40.
  • Para x=-1 não faz sentido porque \sqrt{-1} não é real; portanto -1 não pertence ao domínio, conforme concluímos.

Resposta

T(s(x))=10\sqrt{x}+20
\operatorname{dom}(T\circ s)=[0,\infty)

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