1. Arnaldo, Bernardo e Carlos fazem um determinado trabalho em 10, 15 e 18 dias, respectivamente. Em quantos dias os três, trabalhando juntos, concluiriam o mesmo trabalho?
    a) 9 dias
    b) 8 dias
    c) 6 dias
    d) 5 dias

Passo 1

O enunciado dá os tempos que cada pessoa leva para realizar um trabalho sozinha:
  • Arnaldo: \!10 dias.
  • Bernardo: \!15 dias.
  • Carlos: \!18 dias.
A pergunta é: em quantos dias os três, trabalhando juntos, concluiriam o mesmo trabalho?

Passo 2

Entender a ideia de “taxa de trabalho” (vamos mastigar isso). Se uma pessoa faz um trabalho inteiro em \!t dias, então ela realiza, em média, uma fração de trabalho por dia igual a \dfrac{1}{t} (ou seja, ela faz \dfrac{1}{t} do trabalho em cada dia). Exemplos concretos:
  • Se alguém faz o trabalho em \!5 dias, por dia faz \dfrac{1}{5} do trabalho.
  • Se alguém faz em \!2 dias, por dia faz \dfrac{1}{2} do trabalho.
Isso é lógico porque em \!t dias essa pessoa acumula \!t\cdot\frac{1}{t}=1 trabalho completo.

Passo 3

Quando várias pessoas trabalham juntas, as frações de trabalho que cada uma realiza por dia somam-se. Ou seja, a taxa conjunta (em trabalho por dia) é a soma das taxas individuais. Exemplo simples: se uma pessoa faz \dfrac{1}{4} do trabalho por dia e outra faz \dfrac{1}{6} por dia, juntas fazem \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{12} do trabalho por dia.
Aplicamos isso ao nosso caso: as taxas individuais são \dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{15} e \dfrac{1}{18} (em trabalho por dia).

Passo 4

Vamos somar as taxas individuais. Primeiro, escrevemos cada fração com um mesmo denominador para somar confortavelmente. Um múltiplo comum de 10, 15 e 18 é 90. Convertendo:
\frac{1}{10}=\frac{9}{90},\qquad \frac{1}{15}=\frac{6}{90},\qquad \frac{1}{18}=\frac{5}{90}.
Somando:
\frac{9}{90}+\frac{6}{90}+\frac{5}{90}=\frac{9+6+5}{90}=\frac{20}{90}.
Agora simplificamos \dfrac{20}{90}. Dividindo numerador e denominador por 10:
\frac{20}{90}=\frac{2}{9}.
Portanto, a taxa conjunta é \dfrac{2}{9} do trabalho por dia.

Passo 5

Se a taxa conjunta é \dfrac{2}{9} do trabalho por dia, o tempo necessário para completar um trabalho inteiro é o recíproco dessa taxa (porque tempo = trabalho / taxa, e o trabalho é 1). Assim:
T=\frac{1}{\tfrac{2}{9}}=\frac{9}{2}.
Convertendo para forma decimal (com vírgula, como pedem as regras):
\frac{9}{2}=4,5.
Portanto, trabalhando juntos, Arnaldo, Bernardo e Carlos terminam o trabalho em \dfrac{9}{2} dias, isto é, em 4,5 dias.

Passo 6

Pequeno incentivo: essa conta é bem padrão em concursos e provas — memoriza o truque “somar taxas (1/t) e inverter” e depois pratica com números pequenos que você mesmo pode simplificar sem calculadora. Vai dar certo na prova — acredita!

Resposta

\dfrac{9}{2}\\ \text{dias} = 4,5\\ \text{dias}

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