1. Três operários devem fazer um trabalho. O primeiro e o segundo o fariam em 12 dias; o primeiro e o terceiro o fariam em 20 dias; e o segundo e o terceiro em 15 dias. Quantos dias levaria para fazer o trabalho o operário mais rápido?
    a) 10 dias
    b) 12 dias
    c) 15 dias
    d) 20 dias

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • O primeiro e o segundo juntos fariam o trabalho em 12 dias.
  • O primeiro e o terceiro juntos fariam o trabalho em 20 dias.
  • O segundo e o terceiro juntos fariam o trabalho em 15 dias.
O que o enunciado pede:
  • Determinar quantos dias levaria para fazer o trabalho o operário mais rápido (ou seja, o operário que sozinho leva menos dias).

Passo 2

Modelo matemático e significado das variáveis (explicação didática):
  • Em problemas de trabalho, é útil usar a ideia de “taxa de trabalho”: se uma pessoa faz o trabalho em T dias, então sua taxa é \dfrac{1}{T} trabalho por dia. Por exemplo, se alguém faz o trabalho em 5 dias, trabalha à taxa de \dfrac{1}{5} do trabalho por dia.
  • Defina as taxas individuais:
    • \,r_1 = taxa do primeiro operário (trabalho por dia).
    • \,r_2 = taxa do segundo operário.
    • \,r_3 = taxa do terceiro operário.
  • As informações do enunciado se traduzem em equações adicionando taxas (porque, trabalhando juntos, as taxas somam): r_1 + r_2 = \frac{1}{12},
r_1 + r_3 = \frac{1}{20},
r_2 + r_3 = \frac{1}{15}.
  • Nosso objetivo é achar r_1,r_2,r_3 (ou equivalentemente os tempos t_i=\dfrac{1}{r_i}) e então identificar o menor t_i (o mais rápido).

Passo 3

Somando as três equações para obter a soma total das taxas:
(r_1+r_2)+(r_1+r_3)+(r_2+r_3)=\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{15}.
No lado esquerdo temos 2(r_1+r_2+r_3). Agora calcule a soma do lado direito. Fazendo a soma com denominador comum 60:
\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{15}=\frac{5}{60}+\frac{3}{60}+\frac{4}{60}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}.
Logo
2(r_1+r_2+r_3)=\frac{1}{5}\quad\Rightarrow\quad r_1+r_2+r_3=\frac{1}{10}.
Interpretação: todos os três juntos têm taxa \dfrac{1}{10}, isto é, juntos terminam o trabalho em 10 dias.

Passo 4

Agora encontramos cada taxa individual subtraindo a soma apropriada.
Para r_1:
r_1=(r_1+r_2+r_3)-(r_2+r_3)=\frac{1}{10}-\frac{1}{15}.
Calcule a diferença com denominador comum 30:
\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{3}{30}-\frac{2}{30}=\frac{1}{30}.
Portanto r_1=\dfrac{1}{30}. O tempo que o primeiro leva sozinho é
t_1=\frac{1}{r_1}=30\\ \text{dias}.
Para r_2:
r_2=(r_1+r_2+r_3)-(r_1+r_3)=\frac{1}{10}-\frac{1}{20}.
Com denominador 20:
\frac{1}{10}-\frac{1}{20}=\frac{2}{20}-\frac{1}{20}=\frac{1}{20}.
Então r_2=\dfrac{1}{20} e
t_2=\frac{1}{r_2}=20\\ \text{dias}.
Para r_3:
r_3=(r_1+r_2+r_3)-(r_1+r_2)=\frac{1}{10}-\frac{1}{12}.
Com denominador 60:
\frac{1}{10}-\frac{1}{12}=\frac{6}{60}-\frac{5}{60}=\frac{1}{60}.
Então r_3=\dfrac{1}{60} e
t_3=\frac{1}{r_3}=60\\ \text{dias}.

Passo 5

Identificar o operário mais rápido:
  • Os tempos são t_1=30 dias, t_2=20 dias, t_3=60 dias.
  • O operário mais rápido é quem tem o menor tempo: t_2=20 dias (o segundo operário).
Conferência rápida (verificação): somas pareadas:
t_{1,2}^{-1}=r_1+r_2=\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{2+3}{60}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12},
r_1+r_3=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{3+1}{60}=\frac{1}{20},
r_2+r_3=\frac{1}{20}+\frac{1}{60}=\frac{3+1}{60}=\frac{1}{15},
tudo confere com o enunciado.

Resposta

d) 20 dias

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