- Três operários devem fazer um trabalho. O primeiro e o segundo o fariam em 12 dias; o primeiro e o terceiro o fariam em 20 dias; e o segundo e o terceiro em 15 dias. Quantos dias levaria para fazer o trabalho o operário mais rápido?
a) 10 dias
b) 12 dias
c) 15 dias
d) 20 dias
a) 10 dias
b) 12 dias
c) 15 dias
d) 20 dias
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- O primeiro e o segundo juntos fariam o trabalho em
dias. - O primeiro e o terceiro juntos fariam o trabalho em
dias. - O segundo e o terceiro juntos fariam o trabalho em
dias.
O que o enunciado pede:
- Determinar quantos dias levaria para fazer o trabalho o operário mais rápido (ou seja, o operário que sozinho leva menos dias).
Passo 2
Modelo matemático e significado das variáveis (explicação didática):
- Em problemas de trabalho, é útil usar a ideia de “taxa de trabalho”: se uma pessoa faz o trabalho em
dias, então sua taxa é trabalho por dia. Por exemplo, se alguém faz o trabalho em dias, trabalha à taxa de do trabalho por dia. - Defina as taxas individuais:
-
= taxa do primeiro operário (trabalho por dia). -
= taxa do segundo operário. -
= taxa do terceiro operário.
-
- As informações do enunciado se traduzem em equações adicionando taxas (porque, trabalhando juntos, as taxas somam):
- Nosso objetivo é achar
(ou equivalentemente os tempos ) e então identificar o menor (o mais rápido).
Passo 3
Somando as três equações para obter a soma total das taxas:
No lado esquerdo temos
. Agora calcule a soma do lado direito. Fazendo a soma com denominador comum
:
Logo
Interpretação: todos os três juntos têm taxa
, isto é, juntos terminam o trabalho em
dias.
Passo 4
Agora encontramos cada taxa individual subtraindo a soma apropriada.
Para
:
Calcule a diferença com denominador comum
:
Portanto
. O tempo que o primeiro leva sozinho é
Para
:
Com denominador
:
Então
e
Para
:
Com denominador
:
Então
e
Passo 5
Identificar o operário mais rápido:
- Os tempos são
dias, dias, dias. - O operário mais rápido é quem tem o menor tempo:
dias (o segundo operário).
Conferência rápida (verificação): somas pareadas:
tudo confere com o enunciado.
Resposta
d)
dias