Um aro circular de raio a oscila como pêndulo físico em torno de um ponto na sua circunferência. Ache o período de oscilação se o eixo de rotação é paralelo ao plano do aro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um aro circular com raio a que está oscilando como um pêndulo físico. Nosso objetivo é encontrar o período dessa oscilação quando o eixo de rotação é paralelo ao plano do aro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre pêndulos físicos e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um pêndulo físico é um objeto com forma e distribuição de massa definidas oscilando sob a ação da gravidade. Diferente do pêndulo simples, onde toda a massa está concentrada em um ponto, no pêndulo físico, a massa está distribuída ao longo do objeto.

Passo 3

O período T de oscilação de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
T = 2pi raizImgh
onde:
  • I é o momento de inércia do objeto em relação ao eixo de rotação,
  • m é a massa do objeto,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a distância do centro de massa ao eixo de rotação.

Passo 4

No nosso caso, o aro é um círculo fino, e o momento de inércia de um aro em relação a um eixo que passa por um ponto na sua circunferência (usando o Teorema de Steiner) é:
I = Icentro + m a^2
Sabemos que o momento de inércia de um aro em relação ao seu centro é:
Icentro = m a^2
Então:
I = m a^2 + m a^2 = 2 m a^2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a distância h do centro de massa ao eixo de rotação. Como o aro está sendo girado em torno de um ponto na sua circunferência, a distância do centro de massa (que está no centro do aro) até o ponto de rotação é igual ao raio a. Portanto:
h = a

Passo 6

Vamos substituir I e h na fórmula do período:
T = 2pi raiz2 m a^2m g a = 2pi raiz2 ag

Passo 7

Simplificando a equação, temos:
T = 2pi raiz2ag

Resposta

O período de oscilação é $ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{2a}{g}} $.

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