Um aro circular de raio
oscila como pêndulo físico em torno de um ponto na sua circunferência. Ache o período de oscilação se o eixo de rotação é paralelo ao plano do aro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um aro circular com raio
que está oscilando como um pêndulo físico. Nosso objetivo é encontrar o período dessa oscilação quando o eixo de rotação é paralelo ao plano do aro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre pêndulos físicos e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um pêndulo físico é um objeto com forma e distribuição de massa definidas oscilando sob a ação da gravidade. Diferente do pêndulo simples, onde toda a massa está concentrada em um ponto, no pêndulo físico, a massa está distribuída ao longo do objeto.
Passo 3
O período
de oscilação de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
onde:
-
é o momento de inércia do objeto em relação ao eixo de rotação, -
é a massa do objeto, -
é a aceleração da gravidade, -
é a distância do centro de massa ao eixo de rotação.
Passo 4
No nosso caso, o aro é um círculo fino, e o momento de inércia de um aro em relação a um eixo que passa por um ponto na sua circunferência (usando o Teorema de Steiner) é:
Sabemos que o momento de inércia de um aro em relação ao seu centro é:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a distância
do centro de massa ao eixo de rotação. Como o aro está sendo girado em torno de um ponto na sua circunferência, a distância do centro de massa (que está no centro do aro) até o ponto de rotação é igual ao raio
. Portanto:
Passo 6
Vamos substituir
e
na fórmula do período:
Passo 7
Simplificando a equação, temos:
Resposta
O período de oscilação é $ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{2a}{g}} $.