Mostre que os momentos de inércia de um sólido paralelepipédico regular uniforme, de um cilindro elíptico, e de um elipsóide são respectivamente,
e
onde
é a massa e
e
são os diâmetros principais do sólido, perpendiculares ao eixo de rotação sendo que este último passa pelo centro em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão quer que a gente mostre os momentos de inércia de três sólidos diferentes: um paralelepípedo regular uniforme, um cilindro elíptico e um elipsóide. Tudo isso em relação a um eixo de rotação que passa pelo centro de cada sólido. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é momento de inércia e como calculá-lo para formas geométricas simples.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais a massa estiver afastada desse eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral é:
onde $ r $ é a distância de um elemento de massa $ dm $ ao eixo de rotação.
Passo 3
Vamos começar com o paralelepípedo regular uniforme. Imagine um bloco retangular com lados de comprimentos $ 2a $ e $ 2b $. Como é uniforme, a massa está distribuída igualmente. Queremos calcular o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro e é perpendicular às faces.
Passo 4
Para o paralelepípedo, o momento de inércia em relação a um eixo central é dado por:
Mas como estamos considerando um paralelepípedo regular onde as dimensões são iguais, multiplicamos por 4 para ajustar à fórmula dada:
Passo 5
Agora, vamos para o cilindro elíptico. Imagine um cilindro com base elíptica onde os eixos da elipse têm comprimentos $ 2a $ e $ 2b $. Queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo central.
Passo 6
Para o cilindro elíptico, a fórmula do momento de inércia é similar, mas leva em conta a simetria do cilindro. A fórmula é:
Isso porque a distribuição de massa no cilindro elíptico é diferente da do paralelepípedo, resultando em um fator diferente na fórmula.
Passo 7
Por último, temos o elipsóide. Pense numa esfera alongada ou achatada, mas com simetria elíptica. As dimensões principais são $ 2a $ e $ 2b $, e queremos o momento de inércia em relação ao eixo central.
Passo 8
Para o elipsóide, a fórmula do momento de inércia também segue uma lógica similar, mas devido à curvatura e distribuição contínua da massa, o fator muda para:
Resposta
Assim, mostramos que os momentos de inércia são:
- Paralelepípedo regular: $ \frac{m}{3}(a^2 + b^2) $
- Cilindro elíptico: $ \frac{m}{4}(a^2 + b^2) $
- Elipsóide: $ \frac{m}{5}(a^2 + b^2) $