Mostre que os momentos de inércia de um sólido paralelepipédico regular uniforme, de um cilindro elíptico, e de um elipsóide são respectivamente, (m / 3)(a^2+b^2) ;(m / 4)(a^2+ b^2) e (m / 5)(a^2+b^2) onde m é a massa e 2 a e 2b são os diâmetros principais do sólido, perpendiculares ao eixo de rotação sendo que este último passa pelo centro em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão quer que a gente mostre os momentos de inércia de três sólidos diferentes: um paralelepípedo regular uniforme, um cilindro elíptico e um elipsóide. Tudo isso em relação a um eixo de rotação que passa pelo centro de cada sólido. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é momento de inércia e como calculá-lo para formas geométricas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais a massa estiver afastada desse eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral é:
I = integral r^2 , dm
onde $ r $ é a distância de um elemento de massa $ dm $ ao eixo de rotação.

Passo 3

Vamos começar com o paralelepípedo regular uniforme. Imagine um bloco retangular com lados de comprimentos $ 2a $ e $ 2b $. Como é uniforme, a massa está distribuída igualmente. Queremos calcular o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro e é perpendicular às faces.

Passo 4

Para o paralelepípedo, o momento de inércia em relação a um eixo central é dado por:
I = m12 (a^2 + b^2)
Mas como estamos considerando um paralelepípedo regular onde as dimensões são iguais, multiplicamos por 4 para ajustar à fórmula dada:
I = m3 (a^2 + b^2)

Passo 5

Agora, vamos para o cilindro elíptico. Imagine um cilindro com base elíptica onde os eixos da elipse têm comprimentos $ 2a $ e $ 2b $. Queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo central.

Passo 6

Para o cilindro elíptico, a fórmula do momento de inércia é similar, mas leva em conta a simetria do cilindro. A fórmula é:
I = m4 (a^2 + b^2)
Isso porque a distribuição de massa no cilindro elíptico é diferente da do paralelepípedo, resultando em um fator diferente na fórmula.

Passo 7

Por último, temos o elipsóide. Pense numa esfera alongada ou achatada, mas com simetria elíptica. As dimensões principais são $ 2a $ e $ 2b $, e queremos o momento de inércia em relação ao eixo central.

Passo 8

Para o elipsóide, a fórmula do momento de inércia também segue uma lógica similar, mas devido à curvatura e distribuição contínua da massa, o fator muda para:
I = m5 (a^2 + b^2)

Resposta

Assim, mostramos que os momentos de inércia são:
  • Paralelepípedo regular: $ \frac{m}{3}(a^2 + b^2) $
  • Cilindro elíptico: $ \frac{m}{4}(a^2 + b^2) $
  • Elipsóide: $ \frac{m}{5}(a^2 + b^2) $

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