Uma bola sólida uniforme contém uma cavidade oca esférica no seu centro, cujo raio é a metade do da bola. Mostre que a aceleração da bola ao rolar por um plano inclinado áspero é 98/101 da aceleração da bola sem cavidade (Nota: isto sugere um método para teste não destrutivo).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bola sólida e uniforme que possui uma cavidade esférica oca no centro, cujo raio é a metade do raio da bola inteira. Queremos descobrir a aceleração dessa bola ao rolar por um plano inclinado áspero e mostrar que essa aceleração é $ \frac{98}{101} $ da aceleração de uma bola sem cavidade. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de momento de inércia e movimento rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia da bola sem cavidade, que é uma bola sólida uniforme. O momento de inércia $ I $ para uma esfera sólida é dado por:
I
onde:
  • $ m $ é a massa da bola
  • $ R $ é o raio da bola
Esse momento de inércia descreve como a massa da bola está distribuída em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos considerar a cavidade no centro da bola. A cavidade é uma esfera oca com raio $ \frac{R}{2} $. Para encontrar o momento de inércia da bola com cavidade, precisamos subtrair o momento de inércia da cavidade do momento de inércia da bola inteira.
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia da cavidade. Como a cavidade é uma esfera oca, usamos a mesma fórmula do momento de inércia da bola sólida, mas ajustada para o raio menor e a massa proporcional.

Passo 4

A massa da cavidade $ m_{cavidade} $ é proporcional ao volume da cavidade em relação ao volume total da bola. O volume de uma esfera é dado por:
mcavidade
Portanto, a razão dos volumes é:
V = 43 pi r^3
Assim, a massa da cavidade é:
VcavidadeVbola = (R2)^3R^3 = 18

Passo 5

Agora, calculamos o momento de inércia da cavidade:
Icavidade = 25 mcavidade (R2)^2 = 25 cdot m8 cdot R^24 = 25 cdot m R^232 = m R^280

Passo 6

O momento de inércia total da bola com cavidade é a diferença entre o momento de inércia da bola inteira e o da cavidade:
Itotal = Ibola - Icavidade = 25 m R^2 - m R^280
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
25 = 3280 e 3280 - 180 = 3180
Então:
Itotal = 3180 m R^2

Passo 7

Agora, precisamos considerar que a massa total da bola com cavidade é menor que a massa da bola inteira. A massa total $ M $ da bola com cavidade é:
M

Passo 8

Para uma bola rolando sem escorregar em um plano inclinado, a aceleração $ a $ é dada por:
a
onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade
  • $ \theta $ é o ângulo do plano inclinado
  • $ I $ é o momento de inércia
  • $ M $ é a massa total

Passo 9

Primeiro, calculamos a aceleração da bola sem cavidade usando $ I_{bola} = \frac{2}{5} m R^2 $ e $ M = m $:
Ibola = 25 m R^2

Passo 10

Agora, calculamos a aceleração da bola com cavidade usando $ I_{total} = \frac{31}{80} m R^2 $ e $ M = \frac{7m}{8} $:
Itotal = 3180 m R^2

Passo 11

Finalmente, comparamos as duas acelerações para encontrar a razão desejada:
acom cavidadeasem cavidade = 70101 g sin theta57 g sin theta = 70101 cdot 75 = 98101

Resposta

A aceleração da bola com cavidade ao rolar por um plano inclinado áspero é $ \frac{98}{101} $ vezes a aceleração da bola sem cavidade.

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