Um aro circular de raio
oscila como pêndulo físico em torno de um ponto na sua circunferência. Ache o período de oscilação se o eixo de rotação é normal ao plano do aro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o período de oscilação de um aro circular que está balançando como um pêndulo físico. Estamos trabalhando com a matéria de Física, mais especificamente com movimentos oscilatórios e pêndulos físicos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como momento de inércia e o teorema dos eixos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
Aqui, $ I $ é o momento de inércia do objeto em relação ao ponto de rotação, $ m $ é a massa do objeto, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ h $ é a distância entre o centro de massa do objeto e o ponto de rotação.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o momento de inércia $ I $ do aro em relação ao ponto na sua circunferência. Sabemos que o momento de inércia de um aro em relação ao seu centro é:
Mas como estamos girando o aro em um ponto na sua borda, usamos o teorema dos eixos paralelos, que nos diz que:
Onde $ h $ é a distância entre o centro de massa e o ponto de rotação. No caso do aro, $ h = a $ (o raio).
Passo 4
Substituindo $ h = a $ na fórmula do momento de inércia:
Passo 5
Agora que temos $ I = 2 m a^2 $, vamos substituir na fórmula do período:
Passo 6
Simplificando a expressão:
- Os $ m $ se cancelam.
- Um dos $ a $ do numerador cancela com o $ a $ do denominador.
Então:
Resposta
O período de oscilação do aro é: