(a) Work out a formula for the moments of inertia of a cone of mass
, height
, and generating angle
, about its axis of symmetry, and about an axis through the apex perpendicular to the axis of symmetry. Find the center of mass of the cone.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cone com massa $ m $, altura $ h $ e ângulo geratriz $ \alpha $. Precisamos encontrar:
- O momento de inércia do cone em relação ao seu eixo de simetria.
- O momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo vértice (ápice) e é perpendicular ao eixo de simetria.
- O centro de massa do cone.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de momentos de inércia e centro de massa em geometria sólida.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Vamos colocar o vértice do cone na origem do eixo $ z $, com o eixo de simetria alinhado ao eixo $ z $. Assim, a base do cone estará no plano $ z = h $.
Para calcular momentos de inércia e o centro de massa, precisaremos integrar sobre todo o volume do cone. Vamos considerar um elemento diferencial de massa $ dm $ a uma altura $ z $ do vértice.
Passo 3
Vamos encontrar o momento de inércia $ I_z $ em relação ao eixo de simetria ($ z $).
Primeiro, precisamos expressar a massa por unidade de volume. A densidade volumétrica $ \rho $ do cone é:
Onde $ V $ é o volume do cone:
Aqui, $ r $ é o raio da base do cone, que podemos relacionar com o ângulo geratriz $ \alpha $:
Então,
Portanto, a densidade volumétrica é:
Agora, consideremos um elemento diferencial de massa $ dm $ a uma altura $ z $. A área da seção transversal a essa altura é:
Onde $ r(z) = z \tan \alpha $, então:
O volume diferencial $ dV $ é:
E a massa diferencial é:
O momento de inércia em relação ao eixo $ z $ é:
Neste caso, $ r = 0 $ para o eixo $ z $, então $ I_z = 0 $. Mas, na verdade, para um cone sólido uniforme, o momento de inércia sobre o eixo de simetria não é zero. Vamos corrigir isso:
Na verdade, para o momento de inércia em torno do eixo $ z $, precisamos considerar a distância perpendicular de cada elemento de massa ao eixo, que, para um cone simétrico, depende da distância radial.
A fórmula correta para $ I_z $ de um cone sólido é:
Substituindo $ r = h \tan \alpha $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de inércia $ I_{apex} $ em relação a um eixo que passa pelo ápice e é perpendicular ao eixo de simetria.
Usaremos o teorema de Steiner, que relaciona o momento de inércia em torno de um eixo paralelo:
Onde $ d $ é a distância entre os dois eixos. Aqui, $ d = \frac{3}{4} h $ (distância do centro de massa ao vértice para um cone sólido).
Então,
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o centro de massa do cone, usamos a simetria do problema. O centro de massa está localizado ao longo do eixo de simetria ($ z $).
A posição do centro de massa $ \bar{z} $ para um cone sólido é conhecida e dada por:
Resposta
O momento de inércia do cone em relação ao seu eixo de simetria é:
O momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao eixo de simetria e passando pelo ápice é:
E o centro de massa do cone está localizado a uma altura de: