(a) Work out a formula for the moments of inertia of a cone of mass m, height h, and generating angle alpha, about its axis of symmetry, and about an axis through the apex perpendicular to the axis of symmetry. Find the center of mass of the cone.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cone com massa $ m $, altura $ h $ e ângulo geratriz $ \alpha $. Precisamos encontrar:
  1. O momento de inércia do cone em relação ao seu eixo de simetria.
  2. O momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo vértice (ápice) e é perpendicular ao eixo de simetria.
  3. O centro de massa do cone.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de momentos de inércia e centro de massa em geometria sólida.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Vamos colocar o vértice do cone na origem do eixo $ z $, com o eixo de simetria alinhado ao eixo $ z $. Assim, a base do cone estará no plano $ z = h $.
Para calcular momentos de inércia e o centro de massa, precisaremos integrar sobre todo o volume do cone. Vamos considerar um elemento diferencial de massa $ dm $ a uma altura $ z $ do vértice.

Passo 3

Vamos encontrar o momento de inércia $ I_z $ em relação ao eixo de simetria ($ z $).
Primeiro, precisamos expressar a massa por unidade de volume. A densidade volumétrica $ \rho $ do cone é:
Iz
Onde $ V $ é o volume do cone:
z
Aqui, $ r $ é o raio da base do cone, que podemos relacionar com o ângulo geratriz $ \alpha $:
rho
Então,
rho = mV
Portanto, a densidade volumétrica é:
V
Agora, consideremos um elemento diferencial de massa $ dm $ a uma altura $ z $. A área da seção transversal a essa altura é:
V = 13 pi r^2 h
Onde $ r(z) = z \tan \alpha $, então:
r
O volume diferencial $ dV $ é:
alpha
E a massa diferencial é:
r = h tan alpha
O momento de inércia em relação ao eixo $ z $ é:
V = 13 pi (h tan alpha)^2 h = 13 pi h^3 tan^2 alpha
Neste caso, $ r = 0 $ para o eixo $ z $, então $ I_z = 0 $. Mas, na verdade, para um cone sólido uniforme, o momento de inércia sobre o eixo de simetria não é zero. Vamos corrigir isso:
Na verdade, para o momento de inércia em torno do eixo $ z $, precisamos considerar a distância perpendicular de cada elemento de massa ao eixo, que, para um cone simétrico, depende da distância radial.
A fórmula correta para $ I_z $ de um cone sólido é:
rho = m13 pi h^3 tan^2 alpha = 3mpi h^3 tan^2 alpha
Substituindo $ r = h \tan \alpha $:
dm

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de inércia $ I_{apex} $ em relação a um eixo que passa pelo ápice e é perpendicular ao eixo de simetria.
Usaremos o teorema de Steiner, que relaciona o momento de inércia em torno de um eixo paralelo:
Iapex
Onde $ d $ é a distância entre os dois eixos. Aqui, $ d = \frac{3}{4} h $ (distância do centro de massa ao vértice para um cone sólido).
Então,
Iapex = Iz + m d^2
Simplificando:
d

Passo 5

Para encontrar o centro de massa do cone, usamos a simetria do problema. O centro de massa está localizado ao longo do eixo de simetria ($ z $).
A posição do centro de massa $ \bar{z} $ para um cone sólido é conhecida e dada por:
z

Resposta

O momento de inércia do cone em relação ao seu eixo de simetria é:
Iz = 310 m h^2 tan^2 alpha
O momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao eixo de simetria e passando pelo ápice é:
Iapex = m h^2 ( 310 tan^2 alpha + 916 )
E o centro de massa do cone está localizado a uma altura de:
barz = 34 h

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