Dois homens seguram as extremidades de uma prancha uniforme de comprimento
e massa
. Mostre que, se um dos homens solta a sua extremidade repentinamente, o peso suportado pelo outro cai de repente de
para
. Mostre também que a aceleração vertical da extremidade livre é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre duas pessoas segurando as pontas de uma prancha uniforme com comprimento
e massa
. A ideia é mostrar que, se uma das pessoas solta a prancha de repente, o peso que a outra pessoa está segurando cai de
para
. Além disso, precisamos provar que a extremidade que ficou solta da prancha acelera para baixo com uma aceleração de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e dinâmica, como equilíbrio de forças e torque.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no caso inicial, quando os dois homens estão segurando a prancha. Como a prancha é uniforme, seu centro de massa está no meio, ou seja, a distância de cada homem até o centro é
. Nesse cenário, cada pessoa está sustentando metade do peso da prancha. Então, cada um segura
.
Passo 3
Agora, imagine que um dos homens solte a prancha repentinamente. Vamos focar no homem que ainda está segurando a prancha. Com apenas uma pessoa segurando, precisamos analisar as forças e movimentos envolvidos.
Passo 4
Vamos considerar as forças atuando na prancha. O peso total da prancha é
, agindo no centro de massa. O homem que está segurando agora aplica uma força de reação para sustentar a prancha. Além disso, a extremidade solta da prancha começará a acelerar para baixo.
Passo 5
Para entender como o peso suportado pelo homem muda, vamos usar a segunda lei de Newton para rotação (torque). Definimos o ponto de apoio como onde o homem está segurando a prancha. O torque devido ao peso da prancha é
. A força que o homem aplica gera um torque igual e oposto para equilibrar.
Passo 6
Como a prancha não está mais em equilíbrio estático, temos que calcular a nova força aplicada pelo homem. A aceleração da extremidade solta será a responsável por parte dessa força. Aplicando a segunda lei de Newton para transladação, temos que a força total aplicada pelo homem é a soma das forças necessárias para sustentar a prancha e para causar a aceleração.
Passo 7
Calculando, descobrimos que a força que o homem precisa aplicar agora é
. Isso mostra que o peso que ele suporta caiu de
para
quando o outro homem soltou a prancha.
Passo 8
Agora, para encontrar a aceleração da extremidade solta, usamos novamente a segunda lei de Newton. A diferença na força aplicada resulta em uma aceleração de
para baixo na extremidade solta da prancha.
Resposta
Portanto, quando um dos homens solta a prancha, o peso suportado pelo outro cai de
para
, e a aceleração vertical da extremidade livre da prancha é
.