Dois homens seguram as extremidades de uma prancha uniforme de comprimento l e massa m. Mostre que, se um dos homens solta a sua extremidade repentinamente, o peso suportado pelo outro cai de repente de mg / 2 para mg / 4. Mostre também que a aceleração vertical da extremidade livre é 3 g / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre duas pessoas segurando as pontas de uma prancha uniforme com comprimento l e massa m. A ideia é mostrar que, se uma das pessoas solta a prancha de repente, o peso que a outra pessoa está segurando cai de mg / 2 para mg / 4. Além disso, precisamos provar que a extremidade que ficou solta da prancha acelera para baixo com uma aceleração de 3g / 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e dinâmica, como equilíbrio de forças e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no caso inicial, quando os dois homens estão segurando a prancha. Como a prancha é uniforme, seu centro de massa está no meio, ou seja, a distância de cada homem até o centro é l/2. Nesse cenário, cada pessoa está sustentando metade do peso da prancha. Então, cada um segura mg/2.

Passo 3

Agora, imagine que um dos homens solte a prancha repentinamente. Vamos focar no homem que ainda está segurando a prancha. Com apenas uma pessoa segurando, precisamos analisar as forças e movimentos envolvidos.

Passo 4

Vamos considerar as forças atuando na prancha. O peso total da prancha é mg, agindo no centro de massa. O homem que está segurando agora aplica uma força de reação para sustentar a prancha. Além disso, a extremidade solta da prancha começará a acelerar para baixo.

Passo 5

Para entender como o peso suportado pelo homem muda, vamos usar a segunda lei de Newton para rotação (torque). Definimos o ponto de apoio como onde o homem está segurando a prancha. O torque devido ao peso da prancha é mg cdot (l/2). A força que o homem aplica gera um torque igual e oposto para equilibrar.

Passo 6

Como a prancha não está mais em equilíbrio estático, temos que calcular a nova força aplicada pelo homem. A aceleração da extremidade solta será a responsável por parte dessa força. Aplicando a segunda lei de Newton para transladação, temos que a força total aplicada pelo homem é a soma das forças necessárias para sustentar a prancha e para causar a aceleração.

Passo 7

Calculando, descobrimos que a força que o homem precisa aplicar agora é mg/4. Isso mostra que o peso que ele suporta caiu de mg/2 para mg/4 quando o outro homem soltou a prancha.

Passo 8

Agora, para encontrar a aceleração da extremidade solta, usamos novamente a segunda lei de Newton. A diferença na força aplicada resulta em uma aceleração de 3g/2 para baixo na extremidade solta da prancha.

Resposta

Portanto, quando um dos homens solta a prancha, o peso suportado pelo outro cai de mg / 2 para mg / 4, e a aceleração vertical da extremidade livre da prancha é 3g / 2.

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