Dois pesos de massas
e
estão amarrados aos extremos de um fio leve e inextensível. O fio passa em uma roldana de raio
e momento de inércia
. Encontre a aceleração dos pesos (considere
) desprezando o atrito no eixo da roldana.
Passo 1
Vamos lá! Você tem dois pesos, com massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $, amarrados em um fio que passa por uma roldana com raio $ a $ e momento de inércia $ I $. O desafio é encontrar a aceleração dos pesos, sabendo que $ m_{1} > m_{2} $ e ignorando o atrito na roldana. Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton aplicadas tanto à translacional (para os pesos) quanto à rotacional (para a roldana).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada peso. No peso $ m_{1}
m_{1}g
T_{1} $) puxando para cima. No peso $ m_{2} $, a força da gravidade é $ m_{2}g $ para baixo e a tensão do fio é $ T_{2} $ para cima.
Passo 3
Para a roldana, como ela está girando, precisamos considerar o torque causado pelas tensões $ T_{1} $ e $ T_{2}
\tau $) será a diferença entre esses dois torques: $ \tau = (T_{1} - T_{2})a $. Esse torque está relacionado ao momento de inércia $ I $ e à aceleração angular $ \alpha $ pela equação $ \tau = I\alpha $.
Passo 4
Agora, relacionamos a aceleração linear $ a $ com a aceleração angular $ \alpha $ da roldana. Sabemos que $ a = \alpha a $, então $ \alpha = \frac{a}{a} = \frac{a}{a} $. Na verdade, isso simplifica para $ \alpha = \frac{a}{a} = \alpha $, mas para a nossa equação fica $ (T_{1} - T_{2})a = I\frac{a}{a} $.
Passo 5
Vamos escrever as equações de movimento para cada massa usando a segunda lei de Newton:
Para $ m_{1} $: $ m_{1}g - T_{1} = m_{1}a $
Para $ m_{2} $: $ T_{2} - m_{2}g = m_{2}a $
Para $ m_{1} $: $ m_{1}g - T_{1} = m_{1}a $
Para $ m_{2} $: $ T_{2} - m_{2}g = m_{2}a $
Passo 6
Além disso, temos a relação do torque na roldana:
$ (T_{1} - T_{2})a = I\frac{a}{a} = Ia $
$ (T_{1} - T_{2})a = I\frac{a}{a} = Ia $
Passo 7
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, somamos as duas primeiras equações:
$ m_{1}g - T_{1} + T_{2} - m_{2}g = m_{1}a + m_{2}a $
Isso simplifica para:
$ (m_{1} - m_{2})g = (m_{1} + m_{2})a + (T_{1} - T_{2}) $
$ m_{1}g - T_{1} + T_{2} - m_{2}g = m_{1}a + m_{2}a $
Isso simplifica para:
$ (m_{1} - m_{2})g = (m_{1} + m_{2})a + (T_{1} - T_{2}) $
Passo 8
Substituímos $ T_{1} - T_{2} $ pela equação do torque:
$ (m_{1} - m_{2})g = (m_{1} + m_{2})a + \frac{Ia}{a} $
Simplificando:
$ (m_{1} - m_{2})g = a(m_{1} + m_{2} + \frac{I}{a^2}) $
$ (m_{1} - m_{2})g = (m_{1} + m_{2})a + \frac{Ia}{a} $
Simplificando:
$ (m_{1} - m_{2})g = a(m_{1} + m_{2} + \frac{I}{a^2}) $
Passo 9
Finalmente, isolamos $ a $ para encontrar a aceleração:
$ a = \frac{(m_{1} - m_{2})g}{m_{1} + m_{2} + \frac{I}{a^2}} $
$ a = \frac{(m_{1} - m_{2})g}{m_{1} + m_{2} + \frac{I}{a^2}} $
Resposta
A aceleração dos pesos é: