1. Um arpão, de massa m=0,3 \mathrm{Kg}, é lançado horizontalmente de uma pistola por um mergulhador. A velocidade inicial do arpão é V_{0}=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A força que se opõe ao seu movimento na água é dada F_{D}=K V^{2}, onde K=0,033 \mathrm{~N} . \mathrm{s}^{2} / \mathrm{m}^{2}. O arpão é eficaz contra tubarões quando a sua velocidade é superior a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Estime o alcance eficaz do arpão.

Passo 1

O enunciado dá um arpão de massa m=0,3,kg lançado com velocidade inicial V_{0}=30,m/s num meio onde atua uma força de arrasto F_{D}=K\,V^{2} com K=0,033,N· s^{2}/ m^{2}, e pede a distância máxima até a velocidade cair a 10 m/s. Vamos usar a segunda lei de Newton e equações diferenciais para velocidade dependente da posição.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton na direção horizontal temos
m\,\frac{dv}{dt} = -K\,v^{2}
onde o sinal negativo indica oposição ao movimento.

Passo 3

Para relacionar velocidade v com deslocamento s, usamos
\frac{dv}{ds} = \frac{dv/dt}{ds/dt} = \frac{a}{v} = -\frac{K}{m}\,v.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de s=0 (com v=V_{0}) até s=S (com v=10):
\int_{V_{0}}^{10} \frac{1}{v'}\,dv' = -\frac{K}{m}\int_{0}^{S} ds.

Passo 5

A integral resulta em
\ln\!\Bigl(\frac{10}{V_{0}}\Bigr) = -\frac{K}{m}\,S \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{m}{K}\,\ln\!\Bigl(\frac{V_{0}}{10}\Bigr).

Passo 6

Substituindo m=0,3,kg, K=0,033,N· s^{2}/ m^{2}, V_{0}=30,m/s:
S = \frac{0,3}{0,033}\,\ln(3) \approx 9{,}09 \times 1{,}0986 \approx 10{,}0\;\text{m}.

Resposta

O alcance eficaz do arpão é aproximadamente 10{,}0 metros.

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