Um arqueiro atira 30 flechas. Se uma em cada sete flechas disparadas atinge o alvo, qual a chance de ele acertar:
a) nenhuma flecha?
b) no máximo quatro flechas?
c) entre 3 e 7 flechas?
d) oito flechas?
e) No mínimo três flechas?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados que peguei do enunciado:
  • Número de flechas disparadas: n=30.
  • Probabilidade de acertar o alvo em cada tentativa: p=\dfrac{1}{7}.
  • Probabilidade de errar em cada tentativa: q=1-p=\dfrac{6}{7}.
O que o enunciado pede:
(a) a probabilidade de acertar nenhuma flecha;
(b) a probabilidade de acertar no máximo quatro flechas;
(c) a probabilidade de acertar entre 3 e 7 flechas (interpreto como inclusivo: 3,4,5,6,7);
(d) a probabilidade de acertar exatamente oito flechas;
(e) a probabilidade de acertar no mínimo três flechas.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula que usaremos. Quando há um número fixo de tentativas independentes n e cada tentativa tem mesma probabilidade p de sucesso, o número de sucessos X segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente k sucessos é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,q^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k tentativas deram certo),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa,
  • q=1-p é a probabilidade de fracasso em cada tentativa,
  • n é o número total de tentativas,
  • k é o número de sucessos que queremos.
Aqui, n=30, p=\dfrac{1}{7} e q=\dfrac{6}{7}. Vamos usar essa fórmula e, quando conveniente, uma relação de recorrência para calcular probabilidades consecutivas sem fazer grandes potências isoladas.

Passo 3

Cálculo de (a): probabilidade de nenhuma flecha acertar, isto é P(X=0).
Usando a fórmula com k=0:
P(X=0)=\binom{30}{0}\,p^{0}q^{30}=q^{30}=\left(\dfrac{6}{7}\right)^{30}.
Para obter um valor numérico, calculamos \left(\dfrac{6}{7}\right)^{30}. Aproximação:
\left(\dfrac{6}{7}\right)^{30}\approx 0,00978.
Interpretação: cerca de 0,978\% de chance de não acertar nenhuma flecha.

Passo 4

Truque útil para calcular várias probabilidades: expressão de P(X=k) em função de P(X=0).
A partir de P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} e P(X=0)=q^{n}, temos
P(X=k)=\binom{n}{k}\left(\dfrac{p}{q}\right)^{k}P(X=0).
No nosso caso \dfrac{p}{q}=\dfrac{1/7}{6/7}=\dfrac{1}{6}. Essa forma é muito prática: primeiro calculo P(X=0) (feito no passo anterior) e depois multiplico por \binom{n}{k}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{k} para obter P(X=k). Vou usar isso para calcular P(X=1),P(X=2),\ldots de forma rápida.

Passo 5

Cálculo das probabilidades necessárias para (b) (no máximo quatro flechas), isto é P(X\le 4)=\sum_{k=0}^{4}P(X=k).
Primeiro, reiterando P(X=0):
P(X=0)=\left(\dfrac{6}{7}\right)^{30}\approx 0,00978.
Agora as demais usando a relação do passo anterior.
Para k=1:
P(X=1)=\binom{30}{1}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{1}P(X=0)=30\cdot\dfrac{1}{6}\cdot P(X=0)=5\,P(X=0).
Portanto
P(X=1)\approx 5\cdot 0,00978\approx 0,0489.
Para k=2:
\binom{30}{2}=435,\qquad \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}=\dfrac{1}{36},
P(X=2)=435\cdot\dfrac{1}{36}\cdot P(X=0)\approx 12{,}08333\cdot P(X=0)\approx 12{,}08333\cdot0,00978\approx 0,1182.
Para k=3:
\binom{30}{3}=4060,\qquad \left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}=\dfrac{1}{216},
P(X=3)=4060\cdot\dfrac{1}{216}\cdot P(X=0)\approx 18{,}7963\cdot P(X=0)\approx 18{,}7963\cdot0,00978\approx 0,1837.
Para k=4:
\binom{30}{4}=27405,\qquad \left(\dfrac{1}{6}\right)^{4}=\dfrac{1}{1296},
P(X=4)=27405\cdot\dfrac{1}{1296}\cdot P(X=0)\approx 21{,}1534\cdot P(X=0)\approx 21{,}1534\cdot0,00978\approx 0,2068.

Passo 6

Somando para responder (b):
P(X\le 4)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4).
Usando os valores acima:
P(X\le 4)\approx 0,00978+0,0489+0,1182+0,1837+0,2068\approx 0,5674.
Interpretação: cerca de 56,74\% de chance de acertar no máximo quatro flechas.

Passo 7

Cálculo de (c): probabilidade de acertar entre 3 e 7 flechas inclusive, isto é P(3\le X\le 7)=\sum_{k=3}^{7}P(X=k).
Já temos P(X=3)\approx 0,1837 e P(X=4)\approx 0,2068. Vou obter P(X=5),P(X=6),P(X=7) usando a relação recursiva entre P(X=k) e P(X=k+1):
\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}\cdot\frac{p}{q}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{q}.
No nosso caso \dfrac{p}{q}=\dfrac{1}{6}, então
P(X+k+1)=P(X=k)\cdot\frac{n-k}{k+1}\cdot\dfrac{1}{6}.
Calculemos:
  • Para k=4 (obter P(5)):
P(5)=P(4)\cdot\frac{30-4}{5}\cdot\dfrac{1}{6}=P(4)\cdot\dfrac{26}{5}\cdot\dfrac{1}{6}=P(4)\cdot\dfrac{13}{15}.
P(5)\approx 0,2068\cdot\dfrac{13}{15}\approx 0,1790.
  • Para k=5 (obter P(6)):
P(6)=P(5)\cdot\frac{30-5}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=P(5)\cdot\dfrac{25}{36}.
P(6)\approx 0,1790\cdot\dfrac{25}{36}\approx 0,1243.
  • Para k=6 (obter P(7)):
P(7)=P(6)\cdot\frac{30-6}{7}\cdot\dfrac{1}{6}=P(6)\cdot\dfrac{24}{42}=P(6)\cdot\dfrac{4}{7}.
P(7)\approx 0,1243\cdot\dfrac{4}{7}\approx 0,0710.
Agora somamos k=3 a 7:
P(3\le X\le 7)\approx 0,1837+0,2068+0,1790+0,1243+0,0710\approx 0,7648.
Interpretação: cerca de 76,48\%.

Passo 8

Cálculo de (d): probabilidade de exatamente oito flechas, P(X=8).
Usamos novamente a relação recursiva a partir de P(7):
P(8)=P(7)\cdot\frac{30-7}{8}\cdot\dfrac{1}{6}=P(7)\cdot\dfrac{23}{48}.
Numericamente:
P(8)\approx 0,0710\cdot\dfrac{23}{48}\approx 0,0340.
Interpretação: cerca de 3,40\%.

Passo 9

Cálculo de (e): probabilidade de no mínimo três flechas, isto é P(X\ge 3).
É mais fácil calcular pelo complemento:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\bigl(P(0)+P(1)+P(2)\bigr).
Já calculamos:
P(0)\approx 0,00978,\quad P(1)\approx 0,0489,\quad P(2)\approx 0,1182.
Então
P(X\ge 3)\approx 1-(0,00978+0,0489+0,1182)\approx 1-0,1769\approx 0,8231.
Interpretação: cerca de 82,31\% de chance de acertar pelo menos três flechas.

Resposta

a) P(X=0)=0,0098 \approx 0,98\%
b) P(X\le 4)=0,5674 \approx 56,74\%
c) P(3\le X\le 7)=0,7648 \approx 76,48\%
d) P(X=8)=0,0340 \approx 3,40\%
e) P(X\ge 3)=0,8231 \approx 82,31\%

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