Um arqueiro atira 30 flechas. Se uma em cada sete flechas disparadas atinge o alvo, qual a chance de ele acertar:
a) nenhuma flecha?
b) no máximo quatro flechas?
c) entre 3 e 7 flechas?
d) oito flechas?
e) No mínimo três flechas?
a) nenhuma flecha?
b) no máximo quatro flechas?
c) entre 3 e 7 flechas?
d) oito flechas?
e) No mínimo três flechas?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados que peguei do enunciado:
- Número de flechas disparadas:
. - Probabilidade de acertar o alvo em cada tentativa:
. - Probabilidade de errar em cada tentativa:
.
O que o enunciado pede:
(a) a probabilidade de acertar nenhuma flecha;
(b) a probabilidade de acertar no máximo quatro flechas;
(c) a probabilidade de acertar entre 3 e 7 flechas (interpreto como inclusivo: 3,4,5,6,7);
(d) a probabilidade de acertar exatamente oito flechas;
(e) a probabilidade de acertar no mínimo três flechas.
(a) a probabilidade de acertar nenhuma flecha;
(b) a probabilidade de acertar no máximo quatro flechas;
(c) a probabilidade de acertar entre 3 e 7 flechas (interpreto como inclusivo: 3,4,5,6,7);
(d) a probabilidade de acertar exatamente oito flechas;
(e) a probabilidade de acertar no mínimo três flechas.
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula que usaremos. Quando há um número fixo de tentativas independentes
e cada tentativa tem mesma probabilidade
de sucesso, o número de sucessos
segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente
sucessos é:
onde:
-
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais tentativas deram certo), -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, -
é a probabilidade de fracasso em cada tentativa, -
é o número total de tentativas, -
é o número de sucessos que queremos.
Aqui,
,
e
. Vamos usar essa fórmula e, quando conveniente, uma relação de recorrência para calcular probabilidades consecutivas sem fazer grandes potências isoladas.
Passo 3
Cálculo de (a): probabilidade de nenhuma flecha acertar, isto é
.
Usando a fórmula com :
Usando a fórmula com
Para obter um valor numérico, calculamos
. Aproximação:
Interpretação: cerca de
de chance de não acertar nenhuma flecha.
Passo 4
Truque útil para calcular várias probabilidades: expressão de
em função de
.
A partir de e
, temos
A partir de
No nosso caso
. Essa forma é muito prática: primeiro calculo
(feito no passo anterior) e depois multiplico por
para obter
. Vou usar isso para calcular
de forma rápida.
Passo 5
Cálculo das probabilidades necessárias para (b) (no máximo quatro flechas), isto é
.
Primeiro, reiterando
:
Agora as demais usando a relação do passo anterior.
Para
:
Portanto
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Somando para responder (b):
Usando os valores acima:
Interpretação: cerca de
de chance de acertar no máximo quatro flechas.
Passo 7
Cálculo de (c): probabilidade de acertar entre 3 e 7 flechas inclusive, isto é
.
Já temos
e
. Vou obter
usando a relação recursiva entre
e
:
No nosso caso
, então
Calculemos:
- Para
(obter ):
- Para
(obter ):
- Para
(obter ):
Agora somamos
a
:
Interpretação: cerca de
.
Passo 8
Cálculo de (d): probabilidade de exatamente oito flechas,
.
Usamos novamente a relação recursiva a partir de
:
Numericamente:
Interpretação: cerca de
.
Passo 9
Cálculo de (e): probabilidade de no mínimo três flechas, isto é
.
É mais fácil calcular pelo complemento:
Já calculamos:
Então
Interpretação: cerca de
de chance de acertar pelo menos três flechas.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)