Quando está no escritório, o funcionário JSQ recebe uma média de quatro chamadas por hora. Se ele sair por meia hora, qual a probabilidade de perder:
no máximo três pedidos?

Passo 1

O problema dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Informação: ao estar no escritório, o funcionário recebe em média quatro chamadas por hora.
  • Informação: ele sai por meia hora (ou seja, por 0,5 horas).
  • Pergunta: qual a probabilidade de perder no máximo três pedidos durante essa meia hora?

Passo 2

Interpretação do modelo (por que esse modelo é razoável e o que cada coisa significa).
  • Em problemas com contagem de eventos (chamadas) que ocorrem independentemente e com taxa média constante, o número de eventos em um intervalo de tempo costuma ser modelado por uma distribuição de Poisson.
  • A distribuição de Poisson caracteriza a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em um intervalo quando a média (esperança) de eventos nesse intervalo é \lambda. A fórmula é:
P(N=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • N é a variável aleatória “número de chamadas no intervalo”,
  • \lambda é a média de chamadas no intervalo considerado,
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6).
  • Aqui a taxa média é 4 chamadas por hora. Para meia hora ( 0,5 h) a média no intervalo é
\lambda = 4 \times 0,5 = 2.
Logo usaremos a Poisson com \lambda=2.

Passo 3

Escrevendo a probabilidade pedida.
  • “Perder no máximo três pedidos” significa que o número de chamadas N durante a meia hora é menor ou igual a 3. Assim queremos
P(N\le 3)=\sum_{k=0}^{3} P(N=k)=\sum_{k=0}^{3} e^{-2}\frac{2^{k}}{k!}.

Passo 4

Calcular termo a termo (explicando as contas).
  • Para k=0:
P(N=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}\frac{1}{1}=e^{-2}.
  • Para k=1:
P(N=1)=e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=e^{-2}\cdot 2.
  • Para k=2:
P(N=2)=e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}=e^{-2}\frac{4}{2}=e^{-2}\cdot 2.
  • Para k=3:
P(N=3)=e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}=e^{-2}\frac{8}{6}=e^{-2}\cdot\frac{4}{3}.
Somando:
P(N\le 3)=e^{-2}\left(1+2+2+\frac{4}{3}\right)=e^{-2}\left(\frac{19}{3}\right).

Passo 5

Avaliação numérica e interpretação do resultado.
  • Sabendo que e^{-2}\approx 0,1353352832, temos
P(N\le 3)=\frac{19}{3}\,e^{-2}\approx 6{,}333333\cdot 0{,}1353352832\approx 0{,}8571234605.
  • Ou seja, a probabilidade de perder no máximo três pedidos durante a meia hora é aproximadamente 0{,}8571, isto é, cerca de 85{,}71\%. Isso faz sentido: com média 2 chamadas no intervalo, é bastante provável que ocorram 0, 1, 2 ou 3 chamadas (essas somadas dão grande parte da probabilidade total).

Resposta

P(N\le 3)=e^{-2}\dfrac{19}{3}\approx 0{,}8571

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