Arquimedes fori convocado para determinar se uma coroa feita para o rei era feita de ouro puro. A lendia diz que ele resolveu este problema pesando a coroa primeiro no ar e depois na água. SSuponha que as medidas forneceram 7.84 N no ar e 6.86 N na água. Qual deve ter sido a resposta que Arquimedes deu ao rei?. (Dados: rho agua =1.0 times 10^3 kg / m^3 ; rho ouro =19.3 times 10^3 kg / m^3 ).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? O Arquimedes foi chamado para ver se a coroa do rei é feita de ouro puro. Pra isso, ele pesou a coroa no ar e depois na água. As medidas deram 7.84 N no ar e 6.86 N na água. A gente sabe também as densidades da água ( rhoágua = 1.0 times 10^3 , kg/m^3á) e do ouro ( rhoouro = 19.3 times 10^3 , kg/m^3). Vamos usar o Princípio de Arquimedes e a fórmula de densidade pra descobrir se a coroa é ouro puro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando você pesa algo no ar e na água. No ar, o peso que você mede é o peso real do objeto. Na água, o objeto sofre um empuxo para cima, que é igual ao peso da água que ele desloca. Esse empuxo faz com que o peso medido na água seja menor.

Passo 3

Vamos calcular o empuxo, que é a diferença entre o peso no ar e o peso na água:
Empuxo = Par - Págua = 7.84 , N - 6.86 , N = 0.98 , N á

Passo 4

O empuxo também é igual ao peso da água deslocada pela coroa. Usando a fórmula do empuxo:
Empuxo = V times rhoágua times g á
Onde:
  • $ V $ é o volume da coroa,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( V ).
Podemos rearranjar para encontrar o volume:
g á

Passo 5

Agora, vamos calcular a massa da coroa usando o peso no ar:
Par = m times g Rightarrow m = Parg = 7.84 , N9.81 , m/s^2 approx 0.8 , kg

Passo 6

Com a massa e o volume, podemos calcular a densidade da coroa:
rhocoroa = mV = 0.8 , kg1.0 times 10^-4 , m^3 = 8.0 times 10^3 , kg/m^3

Passo 7

Por fim, comparamos a densidade da coroa com a densidade do ouro puro:
8.0 times 10^3 , kg/m^3 vs 19.3 times 10^3 , kg/m^3
A densidade da coroa é menor que a do ouro puro, então a coroa não é feita de ouro puro.

Resposta

A coroa não é feita de ouro puro, pois sua densidade calculada é menor que a do ouro.

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