Arquimedes fori convocado para determinar se uma coroa feita para o rei era feita de ouro puro. A lendia diz que ele resolveu este problema pesando a coroa primeiro no ar e depois na água. SSuponha que as medidas forneceram 7.84 N no ar e 6.86 N na água. Qual deve ter sido a resposta que Arquimedes deu ao rei?. (Dados:
).
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui? O Arquimedes foi chamado para ver se a coroa do rei é feita de ouro puro. Pra isso, ele pesou a coroa no ar e depois na água. As medidas deram 7.84 N no ar e 6.86 N na água. A gente sabe também as densidades da água (
) e do ouro (
). Vamos usar o Princípio de Arquimedes e a fórmula de densidade pra descobrir se a coroa é ouro puro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando você pesa algo no ar e na água. No ar, o peso que você mede é o peso real do objeto. Na água, o objeto sofre um empuxo para cima, que é igual ao peso da água que ele desloca. Esse empuxo faz com que o peso medido na água seja menor.
Passo 3
Vamos calcular o empuxo, que é a diferença entre o peso no ar e o peso na água:
Passo 4
O empuxo também é igual ao peso da água deslocada pela coroa. Usando a fórmula do empuxo:
Onde:
- $ V $ é o volume da coroa,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (
).
Podemos rearranjar para encontrar o volume:
Passo 5
Agora, vamos calcular a massa da coroa usando o peso no ar:
Passo 6
Com a massa e o volume, podemos calcular a densidade da coroa:
Passo 7
Por fim, comparamos a densidade da coroa com a densidade do ouro puro:
A densidade da coroa é menor que a do ouro puro, então a coroa não é feita de ouro puro.
Resposta
A coroa não é feita de ouro puro, pois sua densidade calculada é menor que a do ouro.