Utilize o fato de que
na superficie da Terra para encontrar a densidade média da Terra (Dados:
e
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a densidade média da Terra usando que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é $ g = 9,8 , \mathrm{m/s}^2 $. Para isso, vamos usar alguns dados que já foram fornecidos: a constante gravitacional $ G = 6,67 \times 10^{-11} , \mathrm{N \cdot m2/kg2} $, a massa da Terra $ M_T = 5,98 \times 10^{24} , \mathrm{kg} $ e o raio da Terra $ R_T = 6,37 \times 10^{6} , \mathrm{m} $. Vamos precisar entender como a gravidade, a massa e o raio da Terra estão relacionados para achar a densidade média.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade média ($ \rho $) de um objeto é dada pela fórmula:
No caso da Terra, a massa é $ M_T $ e o volume ($ V $) de uma esfera é calculado por:
Então, a densidade média da Terra será:
Mas como a questão nos dá a aceleração da gravidade, vamos ver como podemos utilizá-la para confirmar nossa resposta.
Passo 3
Sabemos também que a aceleração da gravidade na superfície da Terra ($ g $) está relacionada à massa da Terra e ao raio por:
Apesar de já termos o valor de $ g $, essa fórmula nos mostra como a gravidade depende da massa e do raio da Terra. Podemos usá-la para verificar se os valores fornecidos estão consistentes, mas para encontrar a densidade, vamos focar na fórmula da densidade média.
Passo 4
Vamos agora calcular o volume da Terra usando o raio fornecido:
Primeiro, elevamos o raio ao cubo:
Agora, multiplicamos por $ \frac{4}{3} \pi $:
Passo 5
Agora que temos o volume, podemos calcular a densidade média da Terra:
Resposta
A densidade média da Terra é aproximadamente $ 5,53 \times 10^{3} , \mathrm{kg/m^3} $.