Utilize o fato de que g=9.8 m / s^2 na superficie da Terra para encontrar a densidade média da Terra (Dados: G=6.67 times 10^-11 N cdot m^2 / kg^2, MT=5.98 times 10^24 kg e RT=6.37 x 10^6 m ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a densidade média da Terra usando que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é $ g = 9,8 , \mathrm{m/s}^2 $. Para isso, vamos usar alguns dados que já foram fornecidos: a constante gravitacional $ G = 6,67 \times 10^{-11} , \mathrm{N \cdot m2/kg2} $, a massa da Terra $ M_T = 5,98 \times 10^{24} , \mathrm{kg} $ e o raio da Terra $ R_T = 6,37 \times 10^{6} , \mathrm{m} $. Vamos precisar entender como a gravidade, a massa e o raio da Terra estão relacionados para achar a densidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade média ($ \rho $) de um objeto é dada pela fórmula:
rho
No caso da Terra, a massa é $ M_T $ e o volume ($ V $) de uma esfera é calculado por:
rho = massavolume
Então, a densidade média da Terra será:
MT
Mas como a questão nos dá a aceleração da gravidade, vamos ver como podemos utilizá-la para confirmar nossa resposta.

Passo 3

Sabemos também que a aceleração da gravidade na superfície da Terra ($ g $) está relacionada à massa da Terra e ao raio por:
g
Apesar de já termos o valor de $ g $, essa fórmula nos mostra como a gravidade depende da massa e do raio da Terra. Podemos usá-la para verificar se os valores fornecidos estão consistentes, mas para encontrar a densidade, vamos focar na fórmula da densidade média.

Passo 4

Vamos agora calcular o volume da Terra usando o raio fornecido:
V = 43 pi (6,37 times 10^6 , m)^3
Primeiro, elevamos o raio ao cubo:
(6,37 times 10^6)^3 = 2,58 times 10^20 , m^3
Agora, multiplicamos por $ \frac{4}{3} \pi $:
43 pi

Passo 5

Agora que temos o volume, podemos calcular a densidade média da Terra:
rho = 5,98 times 10^24 , kg1,08 times 10^21 , m^3 approx 5,53 times 10^3 , kg/m^3

Resposta

A densidade média da Terra é aproximadamente $ 5,53 \times 10^{3} , \mathrm{kg/m^3} $.

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