(5) Dado sigma=1,0 times 10^-5 S / m, varepsilonr=2,0, mur=50,0 e f=10 MHz, calcule gamma, alpha, beta e eta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá alguns valores: condutividade elétrica ( sigma = 1,0 times 10^-5 S/m), permissividade relativa ( varepsilonr = 2,0), permeabilidade relativa ( mur = 50,0) e frequência ( f = 10 MHz). Nosso objetivo é calcular quatro grandezas: gamma (constante de propagação), alpha (constante de atenuação), beta (constante de fase) e eta (impedância da onda).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especificamente sobre a propagação de ondas eletromagnéticas em meios materiais. Vamos seguir passo a passo para que tudo fique bem claro!

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a frequência angular ( omega), que está relacionada à frequência f pela fórmula:
omega = 2pi f
Onde:
  • omega é a frequência angular em rad/s
  • f é a frequência em Hz
Vamos substituir f = 10 MHz ( 10 times 10^6 Hz):
omega = 2 pi times 10 times 10^6 = 2 pi times 10^7 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular as permissividades e permeabilidades absolutas do meio. Sabemos que:
varepsilon = varepsilonr times varepsilon0
mu = mur times mu0
Onde:
  • varepsilon0 = 8,854 times 10^-12 F/m (permissividade do vácuo)
  • mu0 = 4pi times 10^-7 H/m (permeabilidade do vácuo)
Substituindo os valores:
varepsilon = 2,0 times 8,854 times 10^-12 = 1,7708 times 10^-11 , F/m
mu = 50,0 times 4pi times 10^-7 approx 6,2832 times 10^-5 , H/m

Passo 4

Com esses valores, podemos calcular a constante de propagação complexa gamma, que é dada por:
gamma = alpha + jbeta = raizjomegamu (jomegavarepsilon + sigma)
Vamos primeiro calcular o termo dentro da raiz:
jomegamu = j times 2pi times 10^7 times 6,2832 times 10^-5 approx j times 3,9478 times 10^3
jomegavarepsilon = j times 2pi times 10^7 times 1,7708 times 10^-11 approx j times 1,1127 times 10^-3
Então:
jomegavarepsilon + sigma = j times 1,1127 times 10^-3 + 1,0 times 10^-5 approx 1,0 times 10^-5 + j times 1,1127 times 10^-3
Multiplicando por jomegamu:
jomegamu times (jomegavarepsilon + sigma) approx j times 3,9478 times 10^3 times (1,0 times 10^-5 + j times 1,1127 times 10^-3)
Usando j times j = -1:
approx j times 3,9478 times 10^3 times 1,0 times 10^-5 + j times 3,9478 times 10^3 times j times 1,1127 times 10^-3
approx 3,9478 times 10^3 times 1,0 times 10^-5 times j - 3,9478 times 10^3 times 1,1127 times 10^-3
approx 3,9478 times 10^-2j - 4,394 times 10^0
Então:
gamma = raiz-4,394 + j times 0,0395
Para resolver essa raiz, usamos a forma polar dos números complexos:
gamma = raiz|gamma| ( cos(theta2) + jsin(theta2) )
Onde |gamma| = raiz(-4,394)^2 + (0,0395)^2 approx 4,394 e theta = arctan(0,0395-4,394) approx 180^circ (já que o real é negativo e imaginário quase zero).
Então:
gamma approx raiz4,394 times (cos(90^circ) + jsin(90^circ)) approx 2,096 times (0 + j1) = j2,096
Portanto:
alpha approx 0 , Np/m
beta approx 2,096 , rad/m

Passo 5

Agora, vamos calcular a impedância da onda eta, que é dada por:
eta = raizjomegamusigma + jomegavarepsilon
Primeiro, calculamos o denominador:
sigma + jomegavarepsilon = 1,0 times 10^-5 + j times 1,1127 times 10^-3
Então:
eta = raizj times 2pi times 10^7 times 6,2832 times 10^-51,0 times 10^-5 + j times 1,1127 times 10^-3
Calculando numerador e denominador:
j times 2pi times 10^7 times 6,2832 times 10^-51,0 times 10^-5 + j times 1,1127 times 10^-3 approx j times 3,9478 times 10^31,0 times 10^-5 + j times 1,1127 times 10^-3
Multiplicamos numerador e denominador por j para simplificar:
approx j times 3,9478 times 10^3 times jj times 1,0 times 10^-5 + j times j times 1,1127 times 10^-3 = -3,9478 times 10^3j times 1,0 times 10^-5 - 1,1127 times 10^-3
Negligenciando o termo j times 1,0 times 10^-5 por ser muito pequeno:
approx -3,9478 times 10^3-1,1127 times 10^-3 approx 3,547 times 10^6
Então:
eta = raiz3,547 times 10^6 approx 1883,6 , Omega

Resposta

A constante de propagação é gamma approx j2,096 , rad/m, a constante de atenuação é alpha approx 0 , Np/m, a constante de fase é beta approx 2,096 , rad/m e a impedância da onda é eta approx 1883,6 , Omega.

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